Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Мухарлямов Р.К - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y
0
= z
z
0
+
2z
2
x
2
= 0,
dz
z
2
= −
2dx
x
2
, −
1
z
=
2
x
+ C
0
, z = −
x
2 + C
0
x
.
z = 0 z y
0
y
0
= −
x
2 + C
0
x
, dy = −
xdx
2 + C
0
x
.
C
0
6= 0 dy
dy =
1
C
0
2dx
2 + C
0
x
− dx
⇒ y =
2
C
2
0
ln |2 + C
0
x| −
x
C
0
+ C
1
.
C
0
= 0
dy = −xdx/2 ⇒ y = −x
2
/4 + C.
z = 0 ⇒ y
0
= 0 ⇒ y = C.
F (y, y
0
, . . . , y
(n)
) = 0.
y
0
= z y z = z(y)
y
00
, y
000
, . . . , y
(n)
y
00
=
dy
0
dx
=
dz
dx
=
dz
dy
dy
dx
=
dz
dy
z,
y
000
=
dy
00
dx
=
dy
00
dy
z =
d
2
z
dy
2
z +
dz
dy
2
!
z,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
(n)
= ω
z,
dz
dy
, . . . ,
d
n−1
z
dy
n−1
.
y
0
, y
00
, y
000
, . . . , y
(n)
(n − 1) z y
                                                            10


   Ðåøåíèå.      Ïîëàãàÿ y 0 = z , ïîëó÷àåì
                                                           2z 2
                                                    z0 +        = 0,
                                                           x2
îòêóäà
                    dz      2dx    1    2                                           x
                      2
                        = − 2 , − = + C0 ,                                z=−             .
                    z        x     z    x                                        2 + C0 x
Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå  z = 0. Çàìåíÿåì z íà y 0 :
                                                  x                         xdx
                                      y0 = −            ,        dy = −            .
                                               2 + C0 x                   2 + C0 x
Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:

  1. C0 6= 0. Ðàçëîæèì dy íà ïðîñòåéøèå äðîáè:
                                       
                        1     2dx              2                 x
                   dy =             − dx ⇒ y = 2 ln |2 + C0 x| −    + C1 .
                        C0 2 + C0 x            C0                C0

  2. C0 = 0. Îòñþäà
                                          dy = −xdx/2 ⇒ y = −x2 /4 + C.

Ïîòåðÿííîå ðåøåíèå 
                                           z = 0 ⇒ y 0 = 0 ⇒ y = C.


       1.3      Óðàâíåíèÿ, íå ñîäåðæàùèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé


Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óðàâíåíèå âèäà

                                              F (y, y 0 , . . . , y (n) ) = 0.                (1.17)

Äåëàåì çàìåíó y 0 = z , ïðèíÿâ y çà íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ  z = z(y). Ïðè ýòîì
y 00 , y 000 , . . . , y (n) ïðåîáðàçóþòñÿ òàê:
                                         dy 0       dz      dz dy     dz
                                 y 00 =          =      =         = z,
                                         dx        dx       dy dx     dy
                                              00        00        2
                                                                          2 !
                                         dy          dy          dz       dz
                                 y 000 =          =        z=       2
                                                                      z+        z,
                                          dx         dy          dy       dy
                                 .......................................
                                                         dn−1 z
                                                               
                                  (n)        dz
                                 y = ω z,       , . . . , n−1 .
                                             dy          dy

   Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ y 0 , y 00 , y 000 , . . . , y (n) â óðàâíåíèå (1.17), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
(n − 1) - ãî ïîðÿäêà ñ èñêîìîé ôóíêöèåé z îò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé y .

Страницы