Электродинамика и распространение радиоволн. Муромцев Д.Ю - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

124
X''/X = –g
x
2
, (6.2.11)
Y''/Y = –g
y
2
, (6.2.12)
где g
x
, g
y
– неизвестные числа, удовлетворяющие соотношению
g
x
2
+ g
y
2
= g
2
. (6.2.13)
В результате применения метода разделения переменных вместо
одного дифференциального уравнения в частных производных полу-
чаются два уравнения в обыкновенных производных с постоянными
коэффициентами, которые могут быть записаны в следующем виде:
X'' + g
x
2
X = 0, (6.2.14)
Y'' + g
y
2
Y = 0. (6.2.15)
Общие решения уравнений (6.2.14), (6.2.15) известны из курса
высшей математики и могут быть представлены в форме:
X(x) = Asin(g
x
x) + Bcos(g
x
x), (6.2.16)
Y(y) = Csin(g
y
y) + Dcos(g
y
y), (6.2.17)
откуда
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
ihz
yyxxz
eygDygCxgBxgAH
−
++= cossincossin
&
. (6.2.18)
Граничные условия (6.2.7) выполняются в случае равенства нулю
производных:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
ihz
yyxxxx
z
eygDygCxgBgxgAg
x
H
−
+−=
∂
∂
cossinsincos
&
,
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
ihz
yyyyxx
z
eygDgygCgxgBxgA
y
H
−
−+=
∂
∂
sincoscossin
&
.
Условия (6.2.7) при x = 0, y = 0 могут быть выполнены, если A = 0,
C = 0. При x = a, y = b:
Bg
x
sin(g
x
a) = 0, Dg
y
sin(g
y
b) = 0.
Из первого условия: sin(g
x
a) = 0; из второго условия: sin(g
y
b) = 0.
Отсюда можно найти постоянные g
x
и g
y
:
g
x
= mπ/a, g
y
= nπ/b. (6.2.19)
Здесь m и n – натуральные числа: m = 0, 1, 2, 3, …, N; n = 0, 1, 2,
3, …, N.

Страницы