Системы энергосберегающего управления. Муромцев Д.Ю - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()
[
)
[
)
[
)
−
−
=
′′
τ
′′
∈
′′
τ
′′
τ
′′
∈
τ
′′
∈
=
−
∗
′′
нечетном,при
четном,при
;;,
...
;;,
;;,
н
в
гр
к
1
гр
21в
10н
б
nu
nu
u
ttu
tu
ttu
tu
n
(3.11а)
здесь
()
1
1
−τ
′
n
L ,
()
1
1
−τ
′′
n
L – функции значений массива
(
)
1
−
n
L , определяемые из уравнений (3.11), (3.11а);
(
)
tt
nn
−
Φ
к,
– элемент матрицы exp
()
[]
ttA −
к
;
()
()
Ll
i
вн
– границы изменения
i
l в уравнениях (3.7) и (3.8). Конкретное использование
соотношений (3.7), (3.8) приведено в примере 3.1.
Действительно, вектор
L
, определяемый (3.6), легко преобразуется в вектор
() ()
∫
−
=−
к
0
0к
t
t
At
dttubettV , (3.12)
используемый при определении множества достижимости в фазовом пространстве [77]. Для этого достаточно положить
nizt
i
,1,0,0
к
0
=== и умножить l на
к
At
be
−
. Таким образом, с помощью l можно задавать множество значений
()
0
0
ztz = , из которых достигаются
()
к
к
ztz = за время управления
0к
tt
−
.
Заметим, что при выполнении условия а) имеет место (см., например, [78]):
∑∑
=
−
=
λ
χ=
s
m
i
i
t
iAt
ete
1к
1
0
к
к
к
,
здесь s,1к,
к
=λ – различные собственные значения матрицы А;
к
m – кратность
к
λ
как нуля минимального многочлена
А;
iк
χ – матрицы с постоянными элементами, зависящими только от А.
Предположим, что некоторому значению
к∈l
соответствуют два управления
(
)
⋅
∗
1
u и
(
)
⋅
∗
2
u , обеспечивающих перевод
из
0
z в
к
z за время
()
0к
tt − и различающихся видом функции
(
)
⋅
∗
i
u или значениями ее параметров. Однако в силу условия
б) для конкретного функционала I это невозможно, поэтому вектор l и массив λ с учетом (3.12) являются синтезирующими.
Существование ОУ видов (3.11), (3.11а) для задачи (3.1) – (3.4) известно [18, 53, 79].
Справедливость (3.7), (3.8) для уравнений (3.11), (3.11а) можно показать, записав уравнение Коши для первых
(
)
1
−
n
компонент вектора z. В этом случае для управления (3.11) получаем следующую систему
(
)
1
−
n уравнений:
() () ()
∫∫∫
−
τ
ττ
τ
−=−
′
+−+−=
к1
0
2
1
1
к,1грк,1нк,1в
.1,1,ФФФ
t
n
i
t
iii
nidsstudsstudsstul
(3.13)
Решая данные уравнения относительно
1,1, −=τ ni
i
, получаем
(
)
1,1,;,...,
11
−=λ=τ
−
nillf
nii
. (3.14)
Подставив (3.14) с учетом (3.9) в уравнение вида (3.13) при ni
=
, приходим к (3.7). Аналогично, с использованием
уравнения (3.11а), получаем уравнение (3.8).
Интервалы (3.10) изменения
nil
i
,1, = , получаются подстановкой пределов изменения
i
τ
в функции (3.14).
То, что поверхность
P
, задаваемая уравнениями (3.7), (3.8), является поверхностью области K, можно показать, ис-
пользуя прием, с помощью которого доказывается теорема о n интервалах [79]. В соответствии с этим приемом, если значе-
нию L соответствует управление
(
)
⋅
∗
б
u (см. (3.11) или (3.11а), то для того же или меньшего времени
0к
tt − и равенства дру-
гих компонентов R не существует другого вида управления, обеспечивающего перевод объекта из
0
z
в
к
z
. Из (3.6), (3.12)
видно, что с увеличением
0к
tt − при прочих равных условиях значения компонент вектора L уменьшаются. Следовательно,
на поверхности P может иметь место лишь управление вида
(
)
⋅
∗
б
u . Полученный результат о поверхности P следует также из
леммы о границе области достижимости [77].
Следствие 3.1.1. Область
λ
K
, ограниченная поверхностью
λ
P
, выпукла, симметрична относительно начала коорди-
нат, замкнута и «растет» с увеличением временного интервала
0к
tt
−
и параметра b, а также расширением границ управле-
ния.
Данные свойства вытекают из «подобия» области K и множества достижимости [18, 77]. Выпуклость
λ
K
легко пока-
зать, рассматривая линейную комбинацию значений L, т.е. если
λ
∈
′′′
KLL , , то и
(
)
[
][]
1,0,1 ∈µ∈
′′
µ−+
′
µ
λ
KLL . Для
симметричности
λ
должно выполняться условие, если KL
∈
′
, то и
λ
∈
′
− KL
. Это свойство наглядно проявляется при

Страницы