Системы энергосберегающего управления. Муромцев Д.Ю - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

– область
K
в пространстве
(
)
λ= ,lL для каждого вида функционала (3.15) изоморфна (в смысле расположения
областей
υiK
i
,1, = ) области K в пространстве L, при этом между значениями L и L имеет место однозначное соответст-
вие.
Для доказательства свойства инвариантности достаточно показать, что оно выполняется для базовой задачи (3.16). Так
как у базовой задачи временной интервал и границы для управления постоянны, а именно эти реквизиты определяют разме-
ры областей существования ОУ, то для задачи (3.16) области
υjKKK
j
,1,,, =
λ
, постоянны. Действительно, для задачи
(3.16), используя формулу Коши, можно записать:
() () ()()
nidTTUTdTTbzz
b
ni
n
j
niijii
,1,222
1
2
0
,
1
2
0
,0
0
,
к
=−Φ=
−Φ−Φ−
∫
∑
∫
=
,
(3.20)
здесь
()
T
ji,
Φ – компонент матрицы
TA
e
.
На основании (3.12) и (3.20) можно получить систему уравнений, связывающих компоненты L, Λ и
()
TU
задачи
(3.16), например, в виде
()
nidTTUel
T
i
i
,1,
2
0
==
∫
Λ−
, (3.21)
здесь предполагается, что характеристические числа
i
Λ
матрицы
A
различные.
С помощью уравнений (3.18) задача (3.1) – (3.4) при любых реквизитах может быть преобразована к базовой. Незави-
симость областей
Λ
KK , от вида функционала следует непосредственно из (3.20), (3.21).
Одинаковое число областей
Λ
jj
KK , для конкретного вида функционала вытекает из соответствия сопряженной сис-
темы уравнений принципа максимума для задачи (3.1) – (3.4) и задачи (3.16). При этом, если характеристическое уравнение
для матрицы А имеет только действительные корни (условие а) утверждения 3.1), то это сохраняется и для соответствую-
щих корней базовой задачи, а следовательно, и для корней сопряженных систем с переменными
()
t
i
ψ и
()
nit
i
,1, =ψ
,
принципа максимума применительно к задачам (3.1) – (3.4) и (3.16) (см., например, [53]). Следовательно,
() ()
∑∑
=
λ
=
λ
==ψ=ψ
n
ν
T
ν
iνi
n
ν
t
ν
iνi
niectect
11
,1,, ,
здесь постоянные
iν
c и
iν
c определяются решением соответствующих граничных задач и выражаются через значения ком-
понент векторов l и L. Выражая
(
)
tu
j
∗
и
()
tU
j
∗
через
(
)
t
i
ψ
и
(
)
nit
i
,1, =ψ , для конкретного вида функционала, нетрудно
убедиться в изоморфности областей
K
и
K
.
Однозначное соответствие между l и L нетрудно показать, выразив вектор L непосредственно через компоненты мас-
сива R с использованием равенств (3.18).
Следствие 3.2.1. Поверхности
PP, областей
K
и
K
применительно к задачам (3.1) – (3.4) и (3.16) не зависят от
вида функционала, т.е. сохраняются неизменными для функционалов
квтэ
,, III .
Следствие 3.2.2. Область
K
есть объединение непересекающихся областей υjK
j
,1, = , при этом υ зависит только
от вида функционала и значений компонентов матрицы
A
, а границы областей
j
K определяются значениями λ,l .
Следствие 3.2.3. Вид и параметры ОУ задачи (3.1) – (3.4) однозначно определяются значениями вектора l и массива
λ , в свою очередь, рассчитываемыми по реквизитам R.
Следствие 3.2.4. Область
λ
K
, ограниченная поверхностью
λ
, обладает свойствами выпуклости, симметричности
относительно начала координат и замкнутости, отмеченными следствием 3.1.1.
На основе результатов утверждения 3.2 можно построить области
K
,
λ
K
и υjK
j
,1, =
λ
, не зависящие от значений
к0
, zz ,
внк0
,,,, uuBtt , и использовать эти области для анализа и синтеза ОУ задачи (3.1) – (3.4) при любых реквизи-
тах R. Это позволяет области
λ
j
K
держать в памяти управляющих ЭВМ или контроллеров, что открывает широкие воз-
можности для решения задач анализа и синтеза ОУ в реальном времени.
Пример 3.1. В качестве примера введения вектора синтезирующих переменных и использования утверждений 3.1, 3.2
рассмотрим модель ЗОУ < АИ, Э, Пр, О >. Здесь динамика объекта управления описывается линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с матрицами

Страницы