Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 10 стр.

родного тонкого стержня в точке х0 есть производная от массы m по длине l:
                  Δm
ρ ( х0 ) = lim        .
           Δx → 0 Δ x

      4. Пусть y = Φ (t ) - функция, описывающая процесс изменения магнитного
потока в зависимости от времени t. Тогда мгновенное значение электродвижу-
щей силы индукции ε равно скорости изменения магнитного потока, то есть
                                                                         ΔΦ
производной от магнитного потока Φ по времени t: ε = lim                     .
                                                                   Δt → 0 Δt

      5. Пусть y = q (t ) - функция, описывающая процесс изменения заряда в ко-
лебательном контуре в зависимости от времени t. Тогда сила тока I в контуре в
                                                                                        Δq
момент времени t0 равна производной заряда q по времени t: I = lim                         .
                                                                                 Δt → 0 Δt

      Из вышесказанного можно сделать вывод, что первая производная от
функции показывает скорость изменения процесса.
                          1.2. Основные правила дифференцирования

      Введем правила дифференцирования арифметических действий. Мы бу-
дем предполагать, что функции-компоненты, т.е. слагаемые, сомножители, де-
лимое и делитель, непрерывны и имеют производные при рассматриваемых
значениях независимой переменной. Пусть f(x) = u, g(x) = v - функции, диффе-
ренцируемые в точке х.
      1)       (u ± v)′ = u′ ± v′
      Доказательство. Обозначим у=u ± v. По определению производной и ос-
новным теоремам о пределах получаем:
           (u ( x + Δx) ± v( x + Δx)) − (u ( x) ± v( x))
y ′ = lim                                                =
    Δx → 0                      Δx
       ⎛ u ( x + Δx) − u ( x) v( x + Δx) − v( x) ⎞          Δu        Δv
= lim ⎜                      ±                     ⎟ = lim     ± lim     = u ′( x) ± v′( x)
 Δx → 0⎝          Δx                  Δx           ⎠ Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx
      2)       (u⋅v)′ = u⋅v′ + u′⋅v
      Доказательство. Обозначим у=u⋅v. Тогда


                                               9