Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

7
2) В полярной системе координат.
Пусть дана функция )(
ϕ
f
r
=
, где r – полярный радиус,
ϕ
- полярный
угол. Возьмём какое-нибудь значение
ϕ
и придадим приращение
ϕ
Δ . Значени-
ям
ϕ
и
ϕ
ϕ
Δ+ соответствуют точки М и
М
′
на графике функции
)(
ϕ
f
r
=
(рис. 2). Полярный радиус MP
изображает данное значение функции, а полярный
радиус
P
M
′
- наращенное значение функции
(
)
ϕ
ϕ
+
=
+
frr .
Рис. 2
Чтобы найти выражение для
r
Δ
, применим к треугольнику
M
PM
′
теорему си-
нусов:
()
[]
(
)
)sin(
sin
)sin(
sin
)sin(
)sin(
ϕ
ϕ
β
β
ϕ
β
π
β
γ
Δ
+
=
Δ
+
−
==
Δ+
r
rr
. Получаем:
)sin()()cos(
)sin(
)sin()cos()cos()sin(
1
ϕβϕ
β
ϕ
β
ϕ
β
Δ+Δ=
Δ
+Δ
=
Δ
+ ctg
r
r
, тогда
)sin()()
2
(sin2)sin()(1)cos(
2
ϕβ
ϕ
ϕβϕ
Δ+
Δ
−=Δ+−Δ=
Δ
ctgctg
r
r
. Разделим обе части
уравнения этого равенства на
ϕ
Δ
:
ϕ
ϕ
β
ϕ
ϕ
ϕ
Δ
Δ
⋅+
Δ
Δ
−=
Δ
Δ
⋅
)sin(
)(
)
2
(sin
1
2
ctg
r
r
. При
0→Δ
ϕ
в правой части равенства первое слагаемое стремится к нулю, а второе
к
)(lim
0
β
ϕ
ctg
→Δ
; часть стремится к r
r
′
⋅
1
. Таким образом,
)(lim
1
0
β
ϕ
ctgr
r
→Δ
=
′
⋅ . Но если
0→Δ
ϕ
,то точка
М
′
неограниченно приближается к точке М
, секущая
М
M
′
- к
касательной
МТ и, значит,
Θ
→
β
; вследствие непрерывности
β
ct
g
приходим
к требуемому равенству:
)(
Θ
⋅
=
′
ctgrr .
Таким образом, геометрический смысл
производной в полярной системе
координат – значение производной
)(
ϕ
fr
′
=
′
равно длине полярного радиуса,
умноженной на котангенс угла
Θ
между полярным радиусом и касательной,
проведёнными к графику функции )(
ϕ
f
r
=
в точке с полярным углом
ϕ
:
)(Θ⋅=
′
ctgrr
. 
2) В полярной системе координат.
        Пусть дана функция r = f (ϕ ) , где r – полярный радиус, ϕ - полярный
угол. Возьмём какое-нибудь значение ϕ и придадим приращение Δϕ . Значени-
ям ϕ и ϕ + Δϕ соответствуют точки М и М ′ на графике                                             функции
                                         r = f (ϕ ) (рис.        2).      Полярный          радиус      MP
                                         изображает данное значение функции, а полярный
                                         радиус       MP ′ - наращенное значение функции
                                         r + Δr = f (ϕ + Δϕ ) .
                  Рис. 2
Чтобы найти выражение для Δr , применим к треугольнику PMM ′ теорему си-
           r + Δr sin(γ ) sin[π − (β + Δϕ )] sin (β + Δϕ )
нусов:           =          =               =              . Получаем:
              r    sin( β )    sin( β )         sin(ϕ )

     Δr sin( β ) cos(Δϕ ) + cos( β ) sin( Δϕ )
1+     =                                       = cos(Δϕ ) + ctg ( β ) sin( Δϕ ) , тогда
     r                sin( β )

Δr                                                 Δϕ
   = cos(Δϕ ) − 1 + ctg ( β ) sin(Δϕ ) = −2 sin 2 ( ) + ctg ( β ) sin( Δϕ ) .    Разделим     обе     части
r                                                   2
                                                                            Δϕ
                                                                       sin 2 ( )
уравнения этого равенства на Δϕ :
                                                           1 Δr
                                                            ⋅   =−            2 + ctg ( β ) ⋅ sin( Δϕ ) . При
                                                           r Δϕ            Δϕ                    Δϕ

Δϕ → 0 в правой части равенства первое слагаемое стремится к нулю, а второе
                                             1                       1
к Δlim   ctg ( β ) ; часть стремится к         ⋅ r ′ . Таким образом, ⋅ r ′ = lim ctg ( β ) . Но если
    ϕ →0
                                             r                       r        Δϕ → 0


Δϕ → 0 ,то точка М ′ неограниченно приближается к точке М, секущая MМ ′ - к
касательной МТ и, значит, β → Θ ; вследствие непрерывности ctgβ приходим
к требуемому равенству: r ′ = r ⋅ ctg (Θ) .
        Таким образом, геометрический смысл производной в полярной системе
координат – значение производной r ′ = f ′(ϕ ) равно длине полярного радиуса,
умноженной на котангенс угла Θ между полярным радиусом и касательной,
проведёнными к графику функции r = f (ϕ ) в точке с полярным углом ϕ :
r ′ = r ⋅ ctg (Θ) .

                                                       7

Страницы