Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

6
4. Если функция y=f(x) имеет непрерывную производную )(xfy
′
=
′
в неко-
тором интервале (a; b), то функция называется гладкой.
Например: f(x) = х - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную,
непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема (Необходимое условие существования производной). Если
функция f(x) имеет производную в точке х
0
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой
точке х. Следовательно, существует предел
)(lim
0
xf
x
y
x
′
=
Δ
Δ
→Δ
. Отсюда по теореме о
связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем
α
+
′
=
Δ
Δ
)(xf
x
y
,
где
0→
α
при 0→Δx , т.е
xxxfy
Δ
⋅
+
Δ
⋅
′
=Δ
α
)(
. Переходя к пределу, при 0→
Δ
x ,
получаем
0lim
0
=Δ
→Δ
y
x
. А это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке х.
Геометрический смысл производной
1) В декартовой системе координат.
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда −
Δ
Δ
=
x
y
tg
β
тангенс угла наклона секущей М
0
М
1
к графику функции.
ktgxf
x
y
tg
xx
==
′
=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
αβ
)(limlim
0
00
, где
α - угол наклона касательной к графику
функции f(x) в точке (x
0
, f(x
0
)), k- угловой
коэффициент.
Таким образом, производная
)(
0
xf
′
в точке х равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции y=f(x) в
точке, абсцисса которой равна х.
Рис. 1
y
x0
L
T
0
M
1
M
α
0
xxx Δ+
0
0
y
yy Δ+
0
           4. Если функция y=f(x) имеет непрерывную производную y ′ = f ′(x) в неко-
тором интервале (a; b), то функция называется гладкой.
           Например: f(x) = х - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную,

непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
           Теорема (Необходимое условие существования производной). Если
функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
           Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой
                                                                    Δy
точке х. Следовательно, существует предел lim                          = f ′( x) . Отсюда по теореме о
                                          Δx → 0                    Δx
                                                                                         Δy
связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем                                 = f ′(x) + α ,
                                                                                         Δx
где α → 0 при Δx → 0 , т.е Δy = f ′( x) ⋅ Δx + α ⋅ Δx . Переходя к пределу, при Δx → 0 ,
получаем lim Δy = 0 . А это и означает, что функция y=f(x) непрерывна в точке х.
               Δx → 0


           Геометрический смысл производной
1) В декартовой системе координат.
                                                                                                   Δy
           Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда tgβ =                          −
                                                                                                   Δx
тангенс          угла          наклона            секущей       М0М1     к     графику        функции.
                                                                           Δy
      y
                                          L             lim tgβ = lim         = f ′( x0 ) = tgα = k , где
                                                       Δx → 0       Δx → 0 Δx
y0 + Δ y
                                              M1
                                                       α - угол наклона касательной к графику
                                                   T   функции f(x) в точке (x0, f(x0)), k- угловой
     y0
                                   α          A        коэффициент.
                              M0
                                                                Таким образом, производная f ′( x0 )
      0                  x0            x0 + Δ x x
                                                       в точке х равна угловому коэффициенту
                        Рис. 1                         касательной к графику функции y=f(x) в
                                                       точке, абсцисса которой равна х.




                                                        6

Страницы