Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

8
Механический смысл производной
Пусть функция S=f(t) описывает закон движения материальной точки по
прямой как зависимость пути S от времени t. Тогда
()
(
)
tfttfS −Δ+
=
Δ
- это
путь, пройденный за интервал времени
t
Δ
, а отношение
t
S
Δ
Δ
- средняя скорость
за время
t
Δ . Получаем, что чем меньше
t
Δ
, тем лучше средняя скорость харак-
теризует изменение функции. Тогда
()
tf
t
S
t
′
=
Δ
Δ
→Δ 0
lim определяет мгновенную
скорость точки в момент времени t как производную пути по времени.
Замечание. Производную функции y=f(x) можно трактовать как скорость
изменения функции: чем больше
)(xf
′
, тем больше угол наклона касательной
к кривой, тем круче график f(x) и быстрее растёт (убывает) функция.
В зависимости от содержательной сущности функции можно получить
широкий круг моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые
из них.
1. Пусть
()
tvy
=
- функция, описывающая процесс изменения скорости
неравномерного движения в зависимости от времени t. Тогда мгновенное уско-
рение материальной точки в фиксированный момент времени
0
t
есть производ-
ная от скорости v по t времени:
()
tv
t
v
a
t
′
=
Δ
Δ
=
→Δ 0
lim .
2. Пусть
()
TQy = - функция, описывающая процесс изменения количества
теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T. Тогда тепло-
ёмкость тела С есть производная от количества теплоты Q по температуре T:
()
TQ
T
Q
С
T
′
=
Δ
Δ
=
→Δ 0
lim .
3. Пусть необходимо определить линейную плотность неоднородного
тонкого стержня длиной l, где т – масса стержня, концы которого имеют коор-
динаты 0 и х
0
(предполагается, что ось Ох направлена по стержню). Масса
стержня является функцией х:
(
)
(
)
xmxf
=
. Тогда линейная плотность неодно-
Механический смысл производной
      Пусть функция S=f(t) описывает закон движения материальной точки по
прямой как зависимость пути S от времени t. Тогда ΔS = f (t + Δt ) − f (t ) - это
                                                            ΔS
путь, пройденный за интервал времени Δt , а отношение          - средняя скорость
                                                            Δt
за время Δt . Получаем, что чем меньше Δt , тем лучше средняя скорость харак-
                                                 ΔS
теризует изменение функции. Тогда lim               = f ′(t ) определяет мгновенную
                                          Δt → 0 Δt

скорость точки в момент времени t как производную пути по времени.
      Замечание. Производную функции y=f(x) можно трактовать как скорость
изменения функции: чем больше f ′(x) , тем больше угол наклона касательной
к кривой, тем круче график f(x) и быстрее растёт (убывает) функция.
      В зависимости от содержательной сущности функции можно получить
широкий круг моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые
из них.
      1. Пусть y = v(t ) - функция, описывающая процесс изменения скорости
неравномерного движения в зависимости от времени t. Тогда мгновенное уско-
рение материальной точки в фиксированный момент времени t 0 есть производ-
                                          Δv
ная от скорости v по t времени: a = lim      = v′(t ) .
                                   Δt → 0 Δt

      2. Пусть y = Q(T ) - функция, описывающая процесс изменения количества
теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T. Тогда тепло-
ёмкость тела С есть производная от количества теплоты Q по температуре T:
          ΔQ
С = lim      = Q ′(T ) .
   ΔT → 0 ΔT


      3. Пусть необходимо определить линейную плотность неоднородного
тонкого стержня длиной l, где т – масса стержня, концы которого имеют коор-
динаты 0 и х0 (предполагается, что ось Ох направлена по стержню). Масса
стержня является функцией х: f ( x ) = m( x ) . Тогда линейная плотность неодно-

                                          8

Страницы