Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 6 стр.

              §1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
                                        ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


  1.1. Производная функции, её геометрический и механический смыслы

      Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения при-
ращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии что при-
                                                                                    f ( x + Δx) − f ( x)
ращение аргумента стремится к нулю, то есть f ′( x) = lim                                                .
                                                                            Δx →0            Δx
      Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а; b),
называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения произ-
водной функции называется дифференцированием. Производная функции
                                                                              dy df d
y=f(x) в произвольной точке х обозначается y ′ , f ′( x ) ,                     , , f (x ) .
                                                                              dx dx dx
      Следствие:
                                                                   Δy                 Δy
      1. Если для некоторого значения х lim                           = +∞ или lim       = −∞ , то го-
                                                            Δx → 0 Δx          Δx → 0 Δx

ворят, что для этого значения х существует бесконечная производная.
      2. Если функция y=f(x) определена в левосторонней (правосторонней) ок-
рестности точки х0 и существует конечный или бесконечный предел этой функ-
                             f ( х0 + Δх ) − f ( x0 )                               f ( х0 + Δх ) − f ( x0 )
ции    f −′ ( x0 ) = lim −                                  ( f +′ ( x0 ) = lim +                            ), то
                  Δx → 0              Δx                                 Δx → 0              Δx
она называется соответственно конечной или бесконечной производной слева
(справа) функции f(x) в точке х0.
      Левую и правую производные называют односторонними производными.
      3. Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она
имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение
неверно. Во- первых, функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых,
даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифферен-
цируема.


                                                        5