Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 12 стр.

                                      1.4. Производная сложной функции

          Пусть f(x) и g(x) – функции дифференцируемые в точке х.
          Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u
входит в область определения функции f. Тогда                                    y ′ = f ′(u ) ⋅ u ′
          Доказательство.
               Δy Δy Δu         Δy        Δy       Δu
 Так как         =  ⋅   ⇒ lim      = lim     ⋅ lim    = y u/ ⋅ u x/ .
               Δx Δu Δx   Δx →0 Δx  Δu →0 Δu Δx →0 Δx

                                                                                   3         4
          Пример 1. Найти производную функции y = log 2 tg ( x ) .

                     2       4                    1             1         3
                                                                                     3    2
                                                                               12 x log 2 tg x
                                                                                               4
                                                                                                     ( )
Решение. y ′ = 3 log 2 tg ( x ) ⋅                 4
                                                           ⋅
                                                               2 4
                                              tg ( x ) ln 2 cos ( x )
                                                                      ⋅ 4x =
                                                                                        4
                                                                             ln 2 ⋅ tg x cos x   ( ) ( )
                                                                                             2 4 .

                                                                                                    1
          Пример 2. Найти производную функции y = x cos x sin x + cos 2 x .
                                                                                                    2
                                                                                       1                1
Решение. Сначала преобразуем данную функцию: y = x sin 2 x + cos 2 x
                                                                                       2                2
       1          1             1                  1
y′ =     sin 2 x + x 2 cos 2 x + 2 cos x(− sin x) = sin 2 x + x cos 2 x − sin x cos x = x cos 2 x.
       2          2             2                  2
                                                                                       2
                                                 x 2e x
          Пример 3. Найти производную функции y = 2 .
                                                 x +1
                              2               2                       2
               ( 2 xe x + x 2 2 xe x )( x 2 + 1) − (2 x) x 2 e x
Решение. y ′ =                                                   =
                                 ( x 2 + 1) 2
                    2             2       2           2          2          2
            2 x 3 e x + 2 x 5 e x + 2 xe x + 2 x 3 e x − 2 x 3 e x   2 xe x ( x 4 + 1 + x 2 )
          =                                                        =                          .
                                  ( x 2 + 1) 2                             ( x 2 + 1) 2

                                                                                       x         x
          Пример 4. Найти производную функции y = ln(tg ) −                                           .
                                                                                       2      sin( x)
                           1      1      1 sin( x) − x ⋅ cos( x)           1             sin( x) − x ⋅ cos( x)
Решение. y′ =                   ⋅       ⋅ −                      =                     −                       =
                           ⎛ x⎞   2⎛ x ⎞ 2
                                                     2
                                                 sin ( x)          2 sin( x) ⋅ cos( x)         sin 2 ( x)
                        tg ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟
                           ⎝2⎠     ⎝2⎠

       1      sin( x) − x ⋅ cos( x) sin( x) − sin 2 ( x) + x cos( x)
=           −                      =                                 .
    sin( x)         sin 2 ( x)                 sin 2 ( x)

                                                                                            2x4
          Пример 5. Найти производную функции y = arctg (                                           ).
                                                                                           1 − x8

                                                            11