Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

12
Решение. =
−
−−−
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
′
28
4783
28
8
)1(
2)8()1(8
)1(
4
1
1
x
xxxx
x
x
y
=
8
3
28
83
28
113
2828
1111328
1
8
)1(
)1(8
)1(
88
)1()1(
)1688()1(
x
x
x
xx
x
xx
xx
xxxx
+
=
+
+
=
+
+
=
−+
+−−
.
1.5. Производная обратных функций
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что
обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответ-
ствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
yyg
′′
= )(1
, т.к. g′(y) ≠ 0 , то
)(
1
yg
y
′
=
′
,
dy
dx
dx
dy 1
=
т.е. производная
обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Теорема.
Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и
имеет неравную нулю производную
)(xf
′
в произвольной точке этого интер-
вала, то обратная ей функция
)(yx
ϕ
=
также имеет производную
)(y
ϕ
′
в соот-
ветствующей точке, определяемую равенством
)(
1
)(
xf
y
′
=
′
ϕ
или
x
y
y
x
′
=
′
1
.
Доказательство. Рассмотрим обратную функцию
)(yx
ϕ
=
. Дадим ар-
гументу у приращение
0≠Δy
. Ему соответствует приращение
xΔ
обратной
функции, причем
0≠
Δ
x
в силу строгой монотонности функции y=f(x). Поэто-
му можно записать
x
y
y
x
Δ
Δ
=
Δ
Δ 1
. Если
0→
Δ
y
, то в силу непрерывности обратной
функции приращение
0→Δx
. И так как
0)(lim
0
≠
′
=
Δ
Δ
→Δ
xf
x
y
x
, тогда
)(
)(
1
lim
1
lim
0
0
y
xf
x
y
y
x
x
y
ϕ
′
=
′
=
Δ
Δ
=
Δ
Δ
→Δ
→Δ
. 
                                  1       8 x 3 (1 − x 8 ) − (−8 x 7 )2 x 4
Решение. y ′ =                                 ⋅                            =
                       ⎛        4x8 ⎞                (1 − x 8 ) 2
                       ⎜⎜1 +            ⎟
                                    8 2 ⎟
                        ⎝    (1 − x  )  ⎠

    (1 − x 8 ) 2 (8 x 3 −8 x 11 + 16 x 11 ) 8 x 3 + 8 x 11 8 x 3 (1 + x 8 )    8x 3
=                                          =              =                 =        .
          (1 + x 8 ) 2 (1 − x 8 ) 2          (1 + x 8 ) 2   (1 + x 8 ) 2      1 + x8

                                          1.5. Производная обратных функций

          Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что
обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответ-
ствующей точке.
          Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:
                                                                            1              dy   1
          1 = g ′( y ) y ′ , т.к. g′(y) ≠ 0 , то                  y′ =            ,           =    т.е. производная
                                                                         g ′( y )          dx   dx
                                                                                                dy

обратной функции обратна по величине производной данной функции.
          Теорема. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a; b) и
имеет неравную нулю производную f ′(x ) в произвольной точке этого интер-
вала, то обратная ей функция x = ϕ ( y ) также имеет производную ϕ ′( y ) в соот-
                                                                                             1                 1
ветствующей точке, определяемую равенством ϕ ′( y ) =                                               или x ′y =      .
                                                                                           f ′( x )            y ′x

          Доказательство.                     Рассмотрим обратную функцию x = ϕ ( y ) . Дадим ар-
гументу у приращение Δy ≠ 0 . Ему соответствует приращение Δx обратной
функции, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y=f(x). Поэто-
                  Δx   1
                     =
му можно записать Δy Δy . Если Δy → 0 , то в силу непрерывности обратной
                       Δx
                                                                                             Δy
функции            приращение                  Δx → 0 .       И        так   как         lim     = f ′( x ) ≠ 0 ,   тогда
                                                                                      Δx → 0 Δ x


       Δx            1                  1
lim        =                  =                = ϕ ′( y ) .
Δy → 0 Δ y              Δy            f ′( x )
                 lim
                 Δx → 0 Δ x



                                                                  12

Страницы