Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 15 стр.

       Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала
находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой
функции по формуле : f ′( x) = (ln f ( x) )′ ⋅ f ( x) .
       Замечание. Способ логарифмического дифференцирования удобно при-
менять для нахождения производных сложных, особенно показательных и по-
казательно-степенных функций, для которых непосредственное вычисление
производной с использованием правил дифференцирования представляется
трудоемким.
                    1.7. Производная показательно- степенной функции

       Функция называется показательной, если независимая переменная вхо-
дит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием.
Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая
функция называется показательно – степенной.
       Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х,
f(x)>0.Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя функцию, получим:
lny = vlnu. Продифференцируем:.

        y′
        y
                         u′
           = v ′ ln u + v ;
                         u
                                            v⎛u′          ⎞
                                   y ′ = u ⎜ v + v ′ ln u ⎟ ⇒
                                           ⎝ u            ⎠
                                                                   (u ) = vu
                                                                     v   ′       v −1
                                                                                       u′ + u v v′ ln u

       Пример 1. Найти производную функции f ( x) = ( x + 3 x)
                                                       2       x cos( x )
                                                                          .
       Решение.               По           полученной            выше            формуле          имеем:
u = x 2 + 3x;       v = x cos( x) .            Где           производные             этих      функций:
u ′ = 2 x + 3; v ′ = cos( x) − x sin( x).

        Окончательно получаем: f ′( x) = x cos(x) ⋅ ( x + 3x)
                                                              x cos( x ) −1
                                                       2
                                                                            ⋅ (2 x + 3) +

+ ( x 2 + 3x) x cos( x ) (cos( x) − x sin( x)) ln( x 2 + 3x)
                                                                             2
       Пример 2. Найти производную функции y = x 2 e x ln x .

                          (
       Решение. y ′ = x 2 e x
                                   2
                                       )′ ln x + x e
                                                 2 x2   1
                                                        x
                                                             (    2         2
                                                                                 )          2
                                                          = 2 xe x + x 2 e x 2 x ln x + xe x =


                                                        14