Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

15
= )ln2ln21(ln)1(2
22
222
xxxxexexxxe
xxx
++=++ .
1.8. Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным относительно y, то
функция задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде урав-
нения
0);( =yxF
, не разрешенного относительно y.
Всякую явно заданную функцию y=f(x) можно записать как неявно за-
данную уравнением
()
0
=
− yxf , но не наоборот.
Замечание. Если неявная функция задана уравнением
0);( =yxF
, то для
нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение от-
носительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рас-
сматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разре-
шить относительно
y
′
.
Пример. Найти производную функции y, заданную уравнением
03
33
=−+ xyyx
.
Решение.
xy
xy
yyxyyyx
−
−
=
′
⇒=
′
⋅+⋅−
′
+
2
2
22
0)1(333
.
1.9. Производная от функции, заданной параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметри-
чески в виде двух уравнений:
⎩
⎨
⎧
=
=
).(
),(
tyy
txx
, где t – вспомогательная переменная,
называемая параметром. Имеем обратную функцию
)(xt
ϕ
=
. Считая, что
функции дифференцируемы, получаем:
t
x
x
t
′
=
′
1
, а по правилу дифференцирова-
ния сложной функции имеем:
xtx
tyy
′
⋅
′
=
′
.
t
tx
x
yy
′
⋅
′
=
′
⇒
1
,
. 
       2                       2          2
= 2 xe x (1 + x 2 ) ln x + xe x = xe x (1 + 2 ln x + 2 x 2 ln x) .
                             1.8. Производная неявно заданной функции

       Если функция задана уравнением y=f(x), разрешенным относительно y, то
функция задана в явном виде.
       Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде урав-
нения F ( x; y ) = 0 , не разрешенного относительно y.
       Всякую явно заданную функцию y=f(x) можно записать как неявно за-
данную уравнением f ( x ) − y = 0 , но не наоборот.
       Замечание. Если неявная функция задана уравнением F ( x; y ) = 0 , то для
нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение от-
носительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рас-
сматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разре-
шить относительно y ′ .
       Пример. Найти                   производную функции y, заданную уравнением
x 3 + y 3 − 3 xy = 0 .

                                                                     y − x2
       Решение. 3 x + 3 y y ′ − 3(1 ⋅ y + x ⋅ y ′) = 0 ⇒ y ′ =
                         2         2
                                                                            .
                                                                     y2 − x
                 1.9. Производная от функции, заданной параметрически

       Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметри-
                             ⎧ x = x (t ),
чески в виде двух уравнений: ⎨             , где t – вспомогательная переменная,
                             ⎩ y = y (t ).
называемая параметром. Имеем обратную функцию t = ϕ ( x ) . Считая, что
                                                          1
функции дифференцируемы, получаем: t ′x =                     , а по правилу дифференцирова-
                                                          xt′

                                                                       1
ния сложной функции имеем: y ′x = y t′ ⋅ t ′x . ⇒, y ′x = yt′ ⋅ .
                                                               xt′



                                                  15

Страницы