Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

13
Пример 1. Вывести формулу для вычисления производной функции
arctg(х).
Решение. Функция arctg является функцией, обратной функции tg, то
есть ее производная может быть найдена следующим образом:
arctgy
x
tgxy == ;
. Известно, что
x
tgxy
2
cos
1
)( =
′
=
′
. По приведенной выше фор-
муле получаем:
)(cos/1
1)(
;
/)(
1
2
xdy
arctgyd
dxarctgyd
y ==
′
. Так как
22
2
11
)(cos
1
yxtg
x
+=+=
, то можно записать формулу для вычисления произ-
водной арктангенса:
2
1
1
)(
y
arctgy
+
=
′
.
Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арк-
косинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции,
найти производную
x
y
′
для функции
3
1−= xy
.
Решение. Обратная функция для у:
1
3
+= yx
. Получаем
2
3yx =
′
.
Тогда
3
2
2
)1(3
1
3
11
−
==
′
=
′
x
y
x
y
y
x
.
1.6. Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим функцию
⎩
⎨
⎧
<−
>
==
0),ln(
0,ln
ln
xприx
xприx
xy
.
Тогда (ln⎪x⎪)′=
х
1
, так как
()
xx
x
x
x
x
1)(
))(ln(;
1
ln =
′
−
=
′
−=
′
. Учитывая полу-
ченный результат, можно записать
()
)(
)(
)(ln
xf
xf
xf
′
=
′
. Отношение
)(
)(
xf
xf
′
назы-
вается логарифмической производной функции f(x). 
       Пример 1. Вывести формулу для вычисления производной функции
arctg(х).
       Решение. Функция arctg является функцией, обратной функции tg, то
есть    ее     производная         может         быть           найдена          следующим      образом:
                                                                  1
y = tgx; x = arctgy . Известно, что y′ = (tgx)′ =                      . По приведенной выше фор-
                                                                cos2 x
                                       1                 d (arctgy )         1
муле           получаем: y′ =                    ;                   =                .   Так       как
                                d (arctgy ) / dx             dy        1 / cos 2 ( x)

   1
   2
         = 1 + tg 2 x = 1 + y 2 , то можно записать формулу для вычисления произ-
cos ( x)
                                             1
водной арктангенса:        (arctgy )′ =          .
                                          1 + y2

       Таким образом, получены все формулы для производных арксинуса, арк-
косинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
       Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции,

найти производную y ′x для функции y = 3 x − 1 .

       Решение. Обратная функция для у: x = y + 1 . Получаем x ′ = 3y .
                                             3                       2



               1     1         1
Тогда y ′x =       = 2 =               .
               x ′y 3 y  33 ( x − 1) 2

                        1.6. Логарифмическое дифференцирование

                                     ⎧ln x, при x > 0
       Рассмотрим функцию y = ln x = ⎨                     .
                                     ⎩ln( − x ), при x < 0
                                                                            (− x)′ 1
Тогда (ln⎪x⎪)′=
                    1
                      , так как      (ln x )′ = 1 ;         (ln(− x))′ =          = . Учитывая полу-
                    х                                x                        x    x
                                             ′ f ′( x)             f ′( x)
ченный результат, можно записать (ln f ( x) ) =        . Отношение         назы-
                                                f ( x)             f ( x)
вается логарифмической производной функции f(x).




                                                     13

Страницы