Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 77 стр.

                                                                                                                                                           Приложение 1.
               Частные производные первого порядка                                                                       Для параметрически заданной функции
                   для функции двух переменных
                                                                                                                                              ⎧ x = x(u, v),                                                ⎧ x = x(t ),
      Для явно заданной функции                                   Для неявно заданной                                             z=f(x,y) ⎨                                                  z=f(x,y) ⎨
                    z = f ( x, y )                                функции F ( x, y, z ) = 0                                                   ⎩ y = y (u, v).                                               ⎩ y = y (t ).
         ∂z                 z ( x + Δx) − z ( x)                                                                                    ∂z           ∂z                                             ∂z           ∂z
            = z ′x = lim                                                    Fx′
                                                                                    ∂F                                                 = z ′x ,     = z ′y ,                                       = z ′x ,     = z ′y ,
                                                                      ∂z               ∂x                                           ∂x          ∂y                                              ∂x           ∂y
         ∂x          Δx → 0          Δx                                  =−      =−
         ∂z                 z ( y + Δy ) − z ( y )                    ∂x    Fz′     ∂F                                  ∂x          ∂x           ∂y          ∂y                                 dx           dy
            = z ′y = lim                                                               ∂z                                  = x u′ ,    = x v′ ,     = y u′ ,    = y v′                             = x t′ ,      = y t′
         ∂y          Δy → 0          Δy                                             ∂F                                  ∂u          ∂v           ∂u          ∂v                                 dt           dt
                                                                      ∂z    F y′       ∂y                           ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
                                                                         =−      =−                                   = ⋅ + ⋅ ;                    = ⋅ + ⋅
                                                                      ∂y    Fz′     ∂F                              ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v                                                z=f(x,y) y=y(x)
Полный дифференциал первого                                                            ∂z
                                                                                                                                                                                                  ∂z          ∂z
порядка для функции двух пе-                                                                                                                                                                         = z ′x ,       = z ′y ,
                                                                                                                                                                                                  ∂x          ∂y
ременных                                                                     ∂z     ∂z                       dz ∂z dx ∂z dy                            dz ∂z ∂z dy
                                                                     dz =       dx + dy                        = ⋅ + ⋅                                   =  + ⋅                                        dy
                                                                             ∂x     ∂y                       dt ∂x dt ∂y dt                            dt ∂x ∂y dx                                           = y ′x
       Основные задачи                                                                                                                                                                                 dx
для функции двух переменных
               Уравнение касательной
для явно заданной функции -                                                                                                              Экстремум функции двух переменных
z − z 0 = z ′x ( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) + z ′y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 )                                                           Необходимое условие: z ′x = 0, z ′y = 0 .
для неявно заданной функции -                                                                                                     Достаточное условие:
Fx′ ( x 0 , y 0 , z 0 )( x − x 0 ) + F y′ ( x 0 , y 0 , z 0 )( y − y 0 ) + Fz′ ( x 0 , y 0 , z 0 )( z − z 0 ) = 0                 A = z ′xx′ , B = z ′xy′ , C = z ′yy′ и Δ = AC − B 2
                                                                                                                                               ⎧ A < 0, то ( x0 , y 0 ) − точка максимума
                                                                                                                                  если Δ > 0 : ⎨
                                             Уравнение нормали                                                                                 ⎩ A > 0, то ( x0 , y 0 ) − точка минимума
                                 x − x0                y − y0          z − z0                                                     если Δ < 0, то в точке ( x0 , y 0 ) экстремума нет .
для явно заданной функции -                    =                   =
                            z ′x ( x 0 , y 0 ) z ′y ( x 0 , y 0 )         −1
                                       x − x0                  y − y0                  z − z0                                         Приближенное значение функции z=f(x,y)
для неявно заданной функции -                           =                       =                                                   f ( x, y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + z ′x ( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) + z ′y ( x 0 , y 0 )( y − y 0 )
                                Fx′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y′ ( x 0 , y 0 , z 0 ) Fz′ ( x 0 , y 0 , z 0 )

                                                                                                              0