Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 5 стр.

                          §1. Неопределенный интеграл

         1.1. Основные понятия неопределенного интеграла

      Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество
всех первообразных функций F(x) + C.
     Записывается это так:             ∫ f ( x)dx = F ( x) + C;
      Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) на-
зывается такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассмат-
риваемом промежутке, то есть F ′( x ) = f ( x ) .
      Операция нахождения неопределенного интеграла от функции назы-
вается интегрированием этой функции.
      Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же
функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от дру-
га в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.
      Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если 1) она
определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрез-
ка, то есть ∀x ∈ [ a; b ] справедливо равенство lim Δy = lim [ f ( x + Δx) − f ( x)] = 0 ,
                                                                  Δx → 0   Δx →0


где x + Δx ∈ [a; b] .
     Теорема (условие существования неопределенного интеграла).
Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом промежутке
неопределенный интеграл.
     Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1.     (∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) + C )′ = f ( x); где C-const.
2.      d (∫ f ( x)dx ) = f ( x)dx .

3.     ∫ dF ( x) = F ( x) + C .
4.     ∫ (u + v − w)dx = ∫ udx + ∫ vdx − ∫ wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
5.     ∫ C ⋅ f ( x )dx = C ⋅ ∫ f ( x )dx.
                                                     4