Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 7 стр.

ных преобразований подынтегральной функции и применения свойств не-
определенного интеграла.
Примеры:
a) ∫ (3x 2 − 2 sin( x) + 5)dx = 3∫ x 2 dx − 2∫ sin( x)dx + 5∫ dx = x 3 + 2 cos( x) + 5 x + C ;

         2 − x2 + 2 + x2                      2 − x2 + 2 + x2                       dx            dx
b)   ∫           4 − x4
                                   dx = ∫
                                                2 − x2 2 + x2
                                                                          dx = ∫
                                                                                   2 + x2
                                                                                            +∫
                                                                                                 2 − x2
                                                                                                           =


                         ⎛ x ⎞
= ln x + x 2 + 2 + arcsin⎜   ⎟ + C.
                         ⎝ 2⎠

с)      x   2x           2
                          (        x
                                    )x
     ∫ 2 ⋅ 3 dx = ∫ 2 ⋅ 3 dx = ∫ 18 dx =
                                                            18 x
                                                           ln(18)
                                                                  +C.

                                                Замена переменной
         Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной
интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где
x = ϕ (t ) - функция имеющая непрерывную производную dx = ϕ ′(t )dt . При-

меняется свойство инвариантности формулы интегрирования неопреде-
ленного интеграла, получаем:                            ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt .
         Эта формула называется формулой замены переменной в неопреде-
ленном интеграле.
Примеры:

                                  ln (4 x + 5 ) = t 2
a)       ln (4 x + 5 )       4 dx                                1      1           t3                 ln 3 ( 4 x + 5 )
     ∫    4x + 5
                       dx =
                            4x + 5
                                   = 2 tdt =               ∫t⋅   2
                                                                   tdt = ∫ t 2 dt =
                                                                        2           6
                                                                                       +C =
                                                                                                              6
                                                                                                                        + C.

                              dx     1
                                   = tdt
                            4x + 5   2




          dx       ex −1 = t 2 , ex = t 2 +1                          2tdt          dt
b)   ∫          =        2
                              (          )
                                        2t
         e x − 1 x = ln t + 1 , dx = t 2 + 1 dt
                                                =                ∫ t (t2
                                                                         + 1)
                                                                              = 2∫ 2
                                                                                  t +1
                                                                                       = 2arctg (t ) + C =


                  (
     = 2arctg e x − 1 + C .   )
с) ∫ x( x 2 + 1) 3 / 2 dx .


                                                                  6