Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 8 стр.

     Первый вариант замены:

                                        x2 + 1 = t           dt 1              t5/2      ( x 2 + 1) 5 / 2
     ∫ x( x + 1)                  dx = 2 xdx = dt = ∫ t 3 / 2 = ∫ t 3 / 2 dt =
               2           3/ 2
                                                                                    +C =                  + C.
                                                             2 2                5              5
                                                dt
                                        xdx =
                                                2

     Второй вариант замены:
                                        x2 + 1 = t2                          t5     ( x 2 + 1) 5 / 2
     ∫ x( x + 1)                  dx = 2 xdx = 2 tdt = ∫ t 3 tdt = ∫ t 4 dt = + C =                  + C.
               2           3/ 2

                                                                             5            5
                                        xdx = tdt

         sin   ( x )dx .
                   3
d)   ∫    3
               x2
                                      Первый вариант замены:


         sin       ( x )dx =
                   3
                                        3
                                          x = t
                                                                                                            ( x )+ C
     ∫     3
                   x   2                   1
                                               dx = dt ∫
                                                      = 3 sin( t )dt = − 3 cos( t ) + C = − 3 cos            3


                                        33 x 2

                                                          sin   ( x )dx =
                                                                3
                                                                            x = t3             3 sin( t ) 2
     Второй вариант замены:                           ∫    3
                                                                x2          dx = 3 t dt
                                                                                     2
                                                                                          =∫
                                                                                                  t2
                                                                                                         t dt =


     = ∫ 3 sin( t )dt = − 3 cos( t ) + C = − 3 cos (3 x ) + C .

     При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать под-
становку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной
для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интег-
рирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометриче-
ских и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах
3 – 7).
                                             Интегрирование по частям
         Этот метод интегрирования основан на применении формулы диффе-
ренцирования произведения d(uv)=udv+vdu и вычислении затем интеграла

∫ d (uv ) = ∫ udv + ∫ vdu .                   Из этого равества получаем формулу интегрирова-

ния по частям:                                             ∫ udv = uv − ∫ vdu .


                                                                     7