Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

8
Примеры:
a)
∫
+− dxexx
x
)43(
2
Интегирируется по частям: пусть
dxedvxxu
x
=+−= ,43
2
; тогда
x
ev = ,
dxxdu )32( −=
. Следовательно,
∫
∫
−−+−=+− dxexexxdxexx
xxx
)32()43()43(
22
.
Еще раз интегрируется по частям: пусть
;,32 dxedvxu
x
=−= тогда
x
evdxdu == ,2 . Получаем,
(
−−−+−=+−
∫
xxx
exexxdxexx )32()43()43(
22
)
Ceexexxdxe
xxxx
++−−+−=−
∫
2)32()43(2
2
.
b)
∫
⋅ dxxx
n
)ln(
Интегирируется по частям: пусть
dxxdvxu
n
== ),ln( ; тогда ,
x
dx
du =
1
1
+
=
+
n
x
v
n
. Следовательно,
−⋅
+
=⋅
+
−⋅
+
=⋅
+++
∫∫
)ln(
11
)ln(
1
)ln(
111
x
n
x
x
dx
n
x
x
n
x
dxxx
nnn
n
=
+
−
∫
dxx
n
n
1
1
()
C
n
x
x
n
x
nn
+
+
−⋅
+
++
2
11
1
)ln(
1
.
c)
∫
dxxarctg )(
Интегирируется по частям: пусть
dxdvxarctgu
=
=
),( ; тогда
x
v
=
,
2
1
x
dx
du
+
=
. Следовательно,
∫∫
+
⋅
−⋅=
2
1
)()(
x
dxx
xarctgxdxxarctg
.
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
dtxdxtx ==+ 2,1
2
. Тогда
∫∫
=−⋅=
t
dt
xarctgxdxxarctg
2
1
)()(
(
)
CxxaectgxCtxarctgx ++−⋅=+−⋅=
2
1ln
2
1
)()ln(
2
1
)( .
d)
(
)
∫
dxxsin
Пусть
tdtdxtx 2,
2
== . Тогда
(
)
∫
∫
∫
⋅=⋅= dtttdtttdxx )sin(2)sin(2sin
.
Интегирируется по частям: пусть
dttdvtu )sin(,
=
=
; тогда ,dtdu =
)cos(tv −= . Следовательно,
(
)
(
)
=++⋅−=+⋅−=
∫∫
Ctttdttttdxx )sin(2)cos(2)cos()cos(2sin
Примеры:
a) ∫ ( x 2 − 3x + 4)e x dx

     Интегирируется по частям: пусть u = x 2 − 3x + 4, dv = e x dx ; тогда v = e x ,
     du = (2 x − 3)dx . Следовательно, ∫ ( x 2 − 3x + 4)e x dx = ( x 2 − 3x + 4)e x − ∫ (2x − 3)e x dx .

     Еще раз интегрируется по частям: пусть u = 2 x − 3, dv = e x dx; тогда
     du = 2dx, v = e x . Получаем,        ∫ (x
                                                 2
                                                                                                (
                                                     − 3x + 4)e x dx = ( x 2 − 3x + 4)e x − (2 x − 3)e x −

                )
     − ∫ 2e x dx = ( x 2 − 3x + 4)e x − (2 x − 3)e x + 2e x + C .

b) ∫ x n ⋅ ln( x)dx
                                                                                                                  dx
     Интегирируется по частям: пусть u = ln( x), dv = x n dx ; тогда du =                                            ,
                                                                                                                   x

          x n +1                                                x n +1              x n +1 dx x n +1
     v=          . Следовательно,         ∫ x ⋅ ln( x)dx =
                                             n
                                                                       ⋅ ln( x) − ∫       ⋅  =       ⋅ ln( x) −
          n +1                                                  n +1                n +1 x n +1

         1           x n +1             x n +1
                            ⋅       −          +C .
       n +1 ∫
     −        x dx =
               n
                                 x
                              ln( )
                     n +1             (n + 1)2
c) ∫ arctg ( x)dx

     Интегирируется по частям: пусть u = arctg ( x), dv = dx ; тогда v = x ,
             dx                                                                        x ⋅ dx
     du =
            1+ x2
                  . Следовательно,          ∫ arctg ( x)dx = x ⋅ arctg ( x) − ∫ 1 + x       2
                                                                                                .

     Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
                                                                                1 dt
     1 + x 2 = t , 2 xdx = dt . Тогда   ∫ arctg ( x)dx = x ⋅ arctg ( x) − 2 ∫     t
                                                                                     =

                       1
                       2
                                                     1
                                                                (
     = x ⋅ arctg ( x) − ln(t ) + C = x ⋅ aectg ( x) − ln 1 + x 2 + C .
                                                     2
                                                                        )
d) ∫ sin ( x )dx

     Пусть x = t 2 , dx = 2tdt . Тогда               ∫ sin ( x )dx = ∫ 2t ⋅ sin(t )dt = 2∫ t ⋅ sin(t )dt .
     Интегирируется по частям: пусть u = t , dv = sin(t )dt ; тогда du = dt ,
     v = − cos(t ) . Следовательно,

     ∫ sin ( x )dx = 2(− t ⋅ cos(t ) + ∫ cos(t )dt ) = −2t ⋅ cos(t ) + 2 sin(t ) + C =

                                                           8

Страницы