Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

9
(
)
(
)
Cxxx ++−= sin2cos2 .
e)
∫
− dxxa
22
Интегирируется по частям: пусть
dxdvxau =−= ,
22
; тогда
22
xa
xdx
du
−
−=
,
x
v = . Следовательно,
=
−
+−
−−=
−
⋅⋅−
−−=−
∫∫∫
dx
xa
axa
xax
xa
dxxx
xaxdxxa
22
222
22
22
2222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−−=
−
−
−
−
−−=
∫∫∫
a
x
adxxaxax
xa
dx
adx
xa
xa
xax arcsin
22222
22
2
22
22
22
.
Обозначается,
Idxxa =−
∫
22
. Тогда
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=
a
x
aIxaxI arcsin
222
.
Следовательно,
C
a
xa
xaxdxxa +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=−
∫
arcsin
22
1
2
2222
.
f)
∫
⋅ dxxx )arcsin(
Интегирируется по частям: пусть
xdxdvxu
=
=
),arcsin( ; тогда ,
1
2
x
dx
du
−
=
2
2
x
v =
. Следовательно, =
−
−=⋅
∫∫
2
22
12
)arcsin(
2
)arcsin(
x
dxx
x
x
dxxx
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+=
−
−−
+=
∫∫∫
22
22
2
22
11
1
2
1
)arcsin(
2
1
11
2
1
)arcsin(
2
x
dx
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
(
)
−
⎜
⎝
⎛
+−+=−−+=
∫
)arcsin(
2
1
1
2
1
2
1
)arcsin(
2
arcsin1
2
1
)arcsin(
2
2
2
2
2
xxxx
x
xdxxx
x
)
(
)
CxxxxxCx +−−+=+− )arcsin(21)arcsin(2
4
1
)arcsin(
22
.
g)
∫
dxxe
x
)cos(
2
Интегрируется по частям: пусть
;)cos(,
2
dxxdveu
x
== тогда ,2
2
dxedu
x
=
)sin(xv = . Следовательно,
∫
∫
⋅−= dxexxedxxe
xxx 222
2)sin()sin()cos( .
Еще раз интегрируется по частям: пусть
;)sin(,
2
dxxdveu
x
== тогда
)cos(,2
2
xvdxedu
x
−== . Получается, 
                        ( )
         = −2 x cos x + 2 sin                ( x )+ C .
e)   ∫       a 2 − x 2 dx

         Интегирируется по частям: пусть u = a 2 − x 2 , dv = dx ; тогда
                       xdx
         du = −                , v = x . Следовательно,
                     a2 − x2

                                                         − x ⋅ x ⋅ dx                           a2 − x2 + a2
         ∫    a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 − ∫
                                                           a2 − x2
                                                                          = x a2 − x2 − ∫
                                                                                                    a2 − x2
                                                                                                                dx =


                               a2 − x2                              dx                                             ⎛ x⎞
         = x a2 − x2 − ∫                       dx − a 2 ∫              = x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 dx − a 2 arcsin ⎜ ⎟ .
                               a2 − x2                         a2 − x2                                             ⎝a⎠

                                                                                                     ⎛ x⎞
         Обозначается,          ∫           a 2 − x 2 dx = I . Тогда I = x a 2 − x 2 − I − a 2 arcsin⎜ ⎟ .
                                                                                                     ⎝a⎠

                                                       1          a2       ⎛ x⎞
         Следовательно,                 ∫    a − x dx = x a − x −    arcsin⎜ ⎟ + C .
                                               2     2     2   2

                                                       2          2        ⎝a⎠

f) ∫ x ⋅ arcsin( x )dx
                                                                                                                           dx
     Интегирируется по частям: пусть u = arcsin(x), dv = xdx ; тогда du =                                                         ,
                                                                                                                          1− x2

              x2                                                               x2                  x 2 dx
     v=
              2
                 . Следовательно,                  ∫ x ⋅ arcsin( x)dx =        2
                                                                                  arcsin( x) − ∫
                                                                                                 2 1− x2
                                                                                                          =


          x2             1 1− x2 −1     x2             1 ⎛ 1− x2         dx                                       ⎞
     =       arcsin( x) + ∫        dx =    arcsin( x) + ⎜⎜ ∫     dx − ∫                                           ⎟=
                                                                                                                  ⎟
          2              2   1− x2      2              2 ⎝ 1− x2        1− x2                                     ⎠

     =
          x2
          2
             arcsin( x) +
                          1
                          2
                               (∫       1 − x 2 dx − arcsin x =       )   x2
                                                                          2
                                                                                         1⎛1           1
                                                                             arcsin( x) + ⎜ x 1 − x 2 + arcsin( x) −
                                                                                         2⎝2           2

     − arcsin( x) ) + C =
                               1
                               4
                                    (
                                 2 x 2 arcsin( x) + x 1 − x 2 − 2 arcsin( x) + C .          )
g) ∫ e 2 x cos( x)dx

         Интегрируется по частям: пусть u = e 2 x , dv = cos( x)dx; тогда du = 2e 2 x dx,
         v = sin( x) . Следовательно,                     ∫e        cos( x)dx = e 2 x sin( x) − ∫ sin( x) ⋅ 2e 2 x dx .
                                                               2x



         Еще раз интегрируется по частям: пусть u = e 2 x , dv = sin( x)dx; тогда
         du = 2e 2 x dx, v = − cos( x) . Получается,


                                                                          9

Страницы