Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

11
Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использо-
вания метода интегрирования по частям.
Таблица 2.
вид интеграла метод интегрирования
()
∫
⋅ dxexP
kx
n
,
() ( )
∫
⋅ dxkxxP
n
sin ,
() ( )
∫
⋅ dxkxxP
n
cos .
За u принимается многочлен
()
xP
n
, а за dv все
остальные подынтегральные выражения.
()
∫
⋅ dxxxP
n
)ln( ,
()
∫
⋅ dxxxP
n
)arcsin(
,
()
∫
⋅ dxxxP
n
)arccos( ,
()
∫
⋅ dxxarctgxP
n
)( ,
()
∫
⋅ dxxarcctgxP
n
)( .
За dv принимается
(
)
dxxP
n
, а за u все остальные
подынтегральные выражения.
()
∫
⋅ dxkxe
mx
sin ,
()
∫
⋅ dxkxe
mx
cos ,
()
∫
dxxlnsin ,
()
∫
dxxlncos .
данные бесконечные интегралы, решаются как
уравнения, после двукратного интегрирования
по частям.
∫
− dxxa
22
,
∫
+ dxxa
22
, a > 0.
За dv принимается dх, а за u остальные подын-
тегральные выражения.
1.3. Интегрирование рациональных дробей
Дробно-рациональной функцией называется функция вида:
)(
)(
)(
xP
xQ
xf
n
m
=
, где )(xQ
m
- многочлен степени m, )(xP
n
- многочлен степени n.
Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правиль-
ной. Если m
≥
n, то рациональную дробь называется неправильной.
Примеры:
a)
()
3
;43
43
7
2
dt
dx
tx
x
dx
=
=+
=
+
∫
=
() ()
∫
+
+
−=+−=+
−
⋅=
−
−
C
x
C
t
C
t
dtt
433
7
3
7
13
7
3
7
1
2
; 
          Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использо-
вания метода интегрирования по частям.
                                                                           Таблица 2.
       вид интеграла                            метод интегрирования
∫ Pn (x ) ⋅ e dx ,
             kx                     За u принимается многочлен Pn (x ) , а за dv все
                                    остальные подынтегральные выражения.
∫ P (x ) ⋅ sin(kx )dx ,
     n


∫ P (x ) ⋅ cos(kx )dx .
     n


∫ P (x ) ⋅ ln( x)dx ,
     n
                                    За dv принимается Pn (x )dx , а за u все остальные
                                    подынтегральные выражения.
∫ P (x ) ⋅ arcsin( x)dx ,
     n


∫ P (x ) ⋅ arccos( x)dx ,
     n


∫ P (x ) ⋅ arctg ( x)dx ,
     n


∫ P (x ) ⋅ arcctg ( x)dx .
     n



∫ e ⋅ sin(kx )dx ,                  данные бесконечные интегралы, решаются как
     mx

                                    уравнения, после двукратного интегрирования
∫ e ⋅ cos(kx )dx ,
     mx
                                    по частям.
∫ sin(ln x )dx ,
∫ cos(ln x )dx .
                                    За dv принимается dх, а за u остальные подын-
∫    a 2 − x 2 dx ,
                                    тегральные выражения.
∫    a 2 + x 2 dx , a > 0.


                      1.3. Интегрирование рациональных дробей

           Дробно-рациональной            функцией     называется    функция     вида:
           Qm ( x )
f ( x) =            , где Qm (x) - многочлен степени m, Pn (x) - многочлен степени n.
           Pn ( x)

           Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правиль-
ной. Если m ≥ n, то рациональную дробь называется неправильной.
Примеры:
                        3 x + 4 = t;
           7dx                       7 −2  7 t −1       7          7
a)   ∫ (3x + 4)   2
                      =
                        dx =
                              dt = ∫ t dt = ⋅
                                     3     3 (− 1)
                                                   +C =− +C =−
                                                        3t     3(3x + 4 )
                                                                          +C;
                              3


                                               11

Страницы