Составители:
Рубрика:
12
b)
=
−
=
−
=
=
=−
=
−−
=
+−
∫∫∫∫
2222
16
13
16
13
;3
)3(16
13
67
13
t
dt
dt
t
dtdx
tx
dx
x
dx
xx
C
x
C
t
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
4
3
arcsin13
4
arcsin13
.
c)
∫∫ ∫
=
=
+
==−
=
+−
−
=
+−
−
=
+−
−
6
;
6
5
;56
23)56(
2484
486036
2484
453
27
222
dt
dx
t
xtx
dx
x
x
dx
xx
x
dx
xx
x
;
23
56
3
23
486036ln
6
7
23233
23
)23ln(
6
7
23
3
23
23
3
7
23
247014
6
1
2
2
222
C
x
arctgxx
C
t
arctgt
t
dt
t
tdt
dt
t
t
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
++−=
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
+
+
+
=
+
−+
=
∫∫∫
d)
()()()
()
()
=
+−
+
+−
−
=
+−
+
−
=
+−
+
∫∫∫∫
2
2
2
2
2
2
2
2
161
13
172
22
4
172
13)22(4
172
58
x
dx
dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
=
+
+
+−
−=
+
+=
=−=
−=+−=
=
∫∫∫
222222
2
)16(
13
172
4
)16(
134
,)22(
1,172
y
dy
xxy
dy
t
dt
dxdydxxdt
xyxxt
C
x
arctg
xx
x
xx
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+−
−
+
+−
−=
4
1
4
1
172
1
32
13
172
4
22
.
Интеграл
∫
+
22
)16(y
dy
вычисляется с помощью:
• рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического ана-
лиза:
.
)(
)22(
32
))(22()(
12122
∫∫
−−
+
−
−
+
+−
=
+
nnn
st
dt
ns
n
stns
t
st
dt
Следовательно,
∫∫
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+
+
=
+
⋅⋅+
+
⋅
⋅⋅
=
+
C
y
arctg
y
y
y
dy
y
y
y
dy
44
1
32
1
)16(324
2
1
16
1
)16(
1612
1
)16(
222222
.
• интегрирования по частям:
() ()
()
=
+
−
+
=
+
−+
=
+
∫∫∫∫
dy
y
y
y
dy
dx
y
yy
y
dy
16
16
1
16
16
1
16
16
16
1
16
2
2
22
2
22
2
2
()
()
()
=
+
−=
+
=
==
=
+
⋅
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
∫
.
162
1
;
16
;;
16
16
1
44
1
16
1
22
2
2
2
y
v
y
ydy
dv
dyduyu
y
ydyyy
arctg
13 13 x − 3 = t; 13 dt
b) ∫ 7 − x 2 + 6x
dx = ∫
16 − ( x − 3) 2
dx =
dx = dt
=∫
16 − t 2
dt = 13∫
16 − t 2
=
⎛t⎞ ⎛ x − 3⎞
= 13 arcsin⎜ ⎟ + C = 13 arcsin⎜ ⎟+C .
⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠
t +5
6 x − 5 = t; x= ;
7x − 2 84 x − 24 84 x − 24 6
c) ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = =
3x − 5 x + 4
2
36 x − 60 x + 48
2
(6 x − 5) 2 + 23 dt
dx =
6
1 14t + 70 − 24 7 tdt 23 dt 7 23 ⎛ t ⎞
=
6 ∫ t + 23
2
dt = ∫ 2 + ∫ 2 = ln(t 2 + 23) +
3 t + 23 3 t + 23 6 3 23
arctg ⎜⎜ ⎟⎟ + C =
⎝ 23 ⎠
7 23 ⎛ 6x − 5 ⎞
= ln 36 x 2 − 60 x + 48 + arctg ⎜⎜ ⎟⎟ + C ;
6 3 ⎝ 23 ⎠
8x + 5 4(2 x − 2) + 13 2x − 2 dx
d) ∫ (x 2
− 2 x + 17 ) 2
dx = ∫
(x 2
− 2 x + 17 )
2
dx = 4∫
(x 2
− 2 x + 17 )
2
dx + 13∫
((x − 1) 2
+ 16 )
2
=
t = x 2 − 2 x + 17, y = x − 1 dt dy 4 dy
= = 4 ∫ 2 + 13∫ 2 2
=− 2 + 13∫ 2 =
dt = (2 x − 2)dx , dy = dx t ( y + 16) x − 2 x + 17 ( y + 16) 2
4 13 ⎛ x −1 1 ⎛ x − 1⎞ ⎞
=− + ⎜ 2 + arctg ⎜ ⎟⎟ + C .
x 2 − 2 x + 17 32 ⎝ x − 2 x + 17 4 ⎝ 4 ⎠⎠
dy
Интеграл ∫ (y 2 + 16)2 вычисляется с помощью:
• рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического ана-
dt t 2n − 3 dt
лиза: ∫ (t 2
+ s) n
=
s( 2n − 2)(t + s )
2 n −1
+ ∫
s( 2n − 2) (t + s ) n −1
2
.
Следовательно,
dy 1 y 1 1 dy y 1 1 ⎛ y⎞
∫ ( y2 + 16)2 = 2 ⋅1⋅16 ⋅ ( y2 + 16) + 16 ⋅ 2 ⋅ ∫ y2 + 42 = 32( y2 + 16) + 32 ⋅ 4 arctg⎜⎝ 4 ⎟⎠ + C .
• интегрирования по частям:
dy 1 16 + y 2 − y 2 1 dy 1 y2
∫ =
16 ∫ y 2 + 16 2
dx =
16 ∫ y 2 + 16 16 ∫ y 2 + 16
− dy =
( )
(y 2
+ 16 ) 2
( )
u = y; du = dy;
1 1 ⎛ y⎞ 1 y ⋅ ydy
= ⋅ arctg ⎜ ⎟ − ∫ = ydy 1 =
16 4 ⎝ 4 ⎠ 16 y 2 + 16 2 dv = 2
y + 16
2
; v
(= − 2
2 y + 16 )
.
( ) ( )
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
