Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 15 стр.

                                                                                                           Q ( x)
        Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если f ( x) =
                                                                                                           P( x)

- правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:
        P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ ) (причем множите-
ли типа x2+px+q неразложимы на действительные множители первой сте-
пени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:
Q( x)   A         A2                   Aα                  B1        B2                  Bβ          M x + N1
      = 1 +                + ... +          α
                                               +  ... +         +            + ... +           β
                                                                                                 + 21            +
P( x) x − a ( x − a )   2
                                   ( x − a)             ( x − b) ( x − b ) 2
                                                                                     ( x − b)       x + px + q
    M x + N2                M x + Nλ                    R x + S1        R x + S2                    Rμ x + S μ
+ 2 2            + ... + 2 λ              λ
                                              + ... + 2 1          + 22                  + ... + 2               ,
 ( x + px + q) 2
                         ( x + px + q )                x + rx + s ( x + rx + s)       2
                                                                                                 ( x + rx + s) μ
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.
Примеры:
       9 x 3 − 30 x 2 + 28 x − 88        9 x 3 − 30 x 2 + 28 x − 88        ⎛ A   B  Cx + D ⎞
a) ∫                              dx = ∫                            dx = ∫ ⎜   +   + 2     ⎟dx
        ( x − 6 x + 8)( x + 4)
            2             2
                                         ( x − 2)( x − 4)( x + 4)
                                                            2
                                                                           ⎝x−2 x−4 x +4 ⎠

    Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших
               9 x 3 − 30 x 2 + 28 x − 88   A   B   Cx + D
   дробей                                 =   +    + 2     .
               ( x − 2)( x − 4)( x + 4) x − 2 x − 4 x + 4
                                  2



   После освобождения от знаменателей, получается:
A( x − 4)( x 2 + 4) + B( x − 2)( x 2 + 4) + (Cx + D)( x 2 − 6 x + 8) = 9 x 3 − 30 x 2 + 28 x − 88 .

( A + B + C ) x 3 + (−4 A − 2 B − 6C + D) x 2 + (4 A + 4 B + 8C − 6 D) x + (−16 A − 8 B + 8D) =
= 9 x 3 − 30 x 2 + 28 x − 88.
Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:
⎧A + B + C = 9                                     ⎧C = 9 − A − B
⎪− 4 A − 2 B − 6C + D = −30                        ⎪ D = −30 + 4 A + 2 B + 54 − 6 A − 6 B
⎪                                                  ⎪
⎨                                                  ⎨
⎪4 A + 4 B + 8C − 6 D = 28                         ⎪2 A + 2 B + 4C − 3D = 14
⎪⎩− 16 A − 8 B + 8 D = −88                         ⎪⎩2 A + B − D = 11

⎧C = 9 − A − B                                                   ⎧C = 9 − A − B
⎪ D = 24 − 2 A − 4 B                                             ⎪ D = 24 − 2 A − 4 B
⎪                                                                ⎪
⎨                                                                ⎨
⎪2 A + 2 B + 36 − 4 A − 4 B − 72 + 6 A + 12 B = 14               ⎪4 A + 10 B = 50
⎪⎩2 A + B − 24 + 2 A + 4 B = 11                                  ⎪⎩4 A + 5B = 35




                                                       14