Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

16
ные дроби:
1323)13)(2)(3(
554
2
−
+
+
+
−
=
−+−
−−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
554)2)(3()13)(3()13)(2(
2
−−=+−+−−+−+ xxxxCxxBxxA
Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в
том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу не-
определенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений
принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем
случае: 3, -2, 1/3. Получаем:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
1
2135
1640
C
B
A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
1
5/3
5/2
C
B
A
В итоге получаем:
∫
+−−
−−+−−
dx
x
x
x
xxxxx
61743
776202586
23
2345
= =
−
+
−
+
+
++
∫∫∫
13
15
3
6
2
93
3
2
3
x
dx
x
dx
x
dx
xx
.13ln53ln62ln93
3
2
3
Cxxxxx +−+−++++=
1.4. Интегрирование тригонометрических функций
• Метод тождественных преобразований.
Примеры:
a)
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫∫∫
dxxdxxdxx
2
2
4
))2cos(1(
4
1
)2cos(
2
1
2
1
)(sin
[]
.
8
)4sin(
)2sin(
2
3
4
1
32
)4sin(
84
)2sin(
4
)4cos(
8
1
4
)2sin(
4
))4cos(1(
2
1
4
1
)2sin(
4
1
4
)2(cos
4
1
)2cos(
2
1
4
1
))2(cos)2cos(21(
4
1
22
C
x
x
xxxxx
dxxdx
xx
dxxx
x
dxxdxxdxdxxx
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=++−=
=++−=++−=
=+−==+−=
∫∫∫
∫∫∫∫
b)
∫∫ ∫∫
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
= dxxdxxdx
xxxx
dxxx )3sin(
2
1
)7sin(
2
1
2
)52sin()52sin(
)5cos()2sin(
C
xx
++−=
6
)3cos(
14
)7cos(
                          4 x 2 − 5x − 5         A     B      C
ные дроби:                                    =     +     +
                     ( x − 3)( x + 2)(3 x − 1) x − 3 x + 2 3 x − 1

                 A( x + 2)(3 x − 1) + B( x − 3)(3 x − 1) + C ( x − 3)( x + 2) = 4 x 2 − 5 x − 5

         Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в
том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу не-
определенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений
принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем
случае: 3, -2, 1/3. Получаем:
                                       ⎧40 A = 16           ⎧A = 2 / 5
                                       ⎪                    ⎪
                                       ⎨35 B = 21           ⎨B = 3 / 5
                                       ⎪C = 1               ⎪C = 1
                                       ⎩                    ⎩

         В итоге получаем:
  6 x 5 − 8 x 4 − 25 x 3 + 20 x 2 − 76 x − 7     2               dx       dx        dx
∫           3x − 4 x − 17 x + 6
                3      2
                                             dx = x 3 + 3x + 9∫
                                                 3              x+2
                                                                    + 6∫
                                                                         x−3
                                                                             + 15∫
                                                                                   3x − 1
                                                                                          =

    2 3
=     x + 3 x + 9 ln x + 2 + 6 ln x − 3 + 5 ln 3x − 1 + C.
    3


      1.4. Интегрирование тригонометрических функций

• Метод тождественных преобразований.
Примеры:
                                        2

a) ∫ sin ( x)dx = ∫ ⎛⎜ − cos(2 x) ⎞⎟ dx = ∫ (1 − cos(2 x)) 2 dx =
         4            1 1                1
                     ⎝2 2          ⎠     4
 1                                      1      1                 1
=
 4 ∫ (1 − 2 cos(2 x) + cos 2 (2 x))dx == ∫ dx − ∫ cos(2 x)dx + ∫ cos 2 (2 x)dx =
                                        4      2                  4
 x 1
 4 4
                   1 1
= − sin(2 x) + ∫ (1 + cos(4 x))dx = −
                   4 2
                                           x sin( 2 x) 1
                                           4      4
                                                                   [
                                                      + ∫ dx + ∫ cos(4 x)dx =
                                                         8
                                                                                         ]
 x sin( 2 x) x sin( 4 x) 1 ⎡ 3 x                  sin(4 x) ⎤
= −            + +              = ⎢ − sin( 2 x) +            + C.
 4        4      8      32         4⎣ 2              8 ⎥⎦

                                 sin(2 x + 5 x) + sin(2 x − 5 x) ⎞
b) ∫ sin(2 x) cos(5 x)dx = ∫ ⎛⎜
                                                                      1              1
                                                                 ⎟dx = ∫ sin(7 x)dx − ∫ sin(3 x)dx =
                               ⎝                2                ⎠    2              2

     cos(7 x) cos(3x)
=−           +        +C
       14        6


                                                      16

Страницы