Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

18
g) .
1
1
)(cos;
1
)(sin
;
1
);(
)(cos16)cos()sin(6)(sin
2
2
2
2
2
2
22
=
+
=
+
=
+
==
=
−+
∫
t
x
t
t
x
t
dt
dxxtgt
xxxx
dx
.
8)(
2)(
ln
10
1
53)(
53)(
ln
10
1
25)3(166
22
C
xtg
xtg
C
xtg
xtg
t
dt
tt
dt
+
+
−
=+
++
−+
=
−+
=
−+
=
∫∫
h)
=
+
=
+
=
+
∫∫∫
dx
xctg
xctg
dx
xctgx
x
dx
xxx
x
)(41
)(
)(41()(sin
)(cos
)cos()sin(4)(sin
)(cos
2
2
2
2
2
∫
+
⋅
+
−=
+
−=
==
=
2
2
2
1
41
1
)(,)(
t
dt
t
t
t
dt
dx
xarcctgxtxctg
Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:
)1)(14()1)(14(
)()4()4(
)1)(14(
)14)(()1(
1
14
2
2
2
2
2
2
2
++
−
=
++
+++++
=
++
++++
=
+
+
+
+
tt
t
tt
CACBtBAt
tt
tCBttA
t
CBt
t
A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
−=+
0
04
14
CA
CB
BA
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
−=
17
1
17
4
17
1
C
B
A
Получается:
∫∫∫∫
−
+
++
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
+
+
−
dt
t
t
tdt
t
t
t
dt
dt
t
t
t
1
2
2)14ln(
4
1
17
1
1
14
1417
1
1
17
1
17
4
14
17
1
222
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++−=
⎟
⎠
⎞
+
−
∫
Ctarctgtt
t
dt
)()1ln(2)14ln(
4
1
17
1
1
2
2
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+++−= Cxctgarctgxctgxctg ))(()1)(ln(2)1)(4ln(
4
1
17
1
2
Cxxctgxctg +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+++−= )
2
()1)(ln(2)1)(4ln(
4
1
17
1
2
π
.
Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригономет-
рических функций в виде таблицы 4. 
                                                                                    dt
                                                               t = tg ( x); dx =          ;
                                  dx                                               1+ t 2
g)    ∫ sin   2
                  ( x) + 6 sin( x) cos( x) − 16 cos 2 ( x)
                                                           =
                                                                           t2                     1
                                                                                                        =.
                                                               sin ( x) =
                                                                  2
                                                                                 ; cos 2 ( x) =
                                                                          1+ t 2
                                                                                                1+ t2

          dt               dt      1 tg ( x) + 3 − 5       1 tg ( x) − 2
=∫                =∫             = ln                + C = ln            + C.
      t + 6t − 16
       2
                     (t + 3) − 25 10 tg ( x) + 3 + 5
                            2
                                                          10 tg ( x) + 8



                   cos 2 ( x)                         cos 2 ( x)                 ctg 2 ( x)
h)    ∫ sin 2 ( x) + 4 sin( x) cos( x) dx = ∫ sin 2 ( x) (1 + 4ctg ( x) dx = ∫ 1 + 4ctg ( x)dx =
         ctg ( x) = t , x = arcctg ( x)
                                               t2     dt
       =                   dt           = −∫       ⋅
                 dx = −                      1 + 4t 1 + t 2
                          1+ t 2

           Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:
       A     Bt + C A(t 2 + 1) + (Bt + C)(4t + 1) t 2 ( A + 4B) + t ( B + 4C) + ( A + C)         −t2
           +        =                            =                                       =
     4t + 1 t 2 + 1        (4t + 1)(t 2 + 1)                  (4t + 1)(t 2 + 1)            (4t + 1)(t 2 + 1)

                                                                      ⎧          1
                                                                      ⎪   A = −
                                               ⎧ A + 4 B = −1         ⎪⎪
                                                                                17
                                               ⎪                                 4
                                               ⎨ B + 4C = 0            ⎨B = −
                                               ⎪ A+C = 0               ⎪        17
                                               ⎩                       ⎪C=      1
                                                                       ⎪⎩      17

Получается:
   ⎛ 1           4      1 ⎞
   ⎜−         − t+ ⎟
                                1 ⎛ dt            4t − 1 ⎞           1 ⎛1                      2t
       17       17 17
∫ ⎜⎜ 4t + 1 + t 2 + 1 ⎟⎟dt = − 17 ⎜⎝ ∫ 4t + 1 + ∫ t 2 + 1 dt ⎟⎠ = − 17 ⎜⎝ 4 ln(4t + 1) + 2∫ t 2 + 1 dt −
   ⎜                      ⎟
   ⎝                      ⎠
        dt ⎞        1 ⎛1                                         ⎞
−∫ 2         ⎟ = − ⎜ ln(4t + 1) + 2 ln(t + 1) − arctg (t ) ⎟ + C =
                                           2

      t + 1⎠       17 ⎝ 4                                        ⎠

        1 ⎛1                            2                             ⎞
=−        ⎜ ln(4ctg ( x) + 1) + 2 ln(ctg ( x) + 1) − arctg (ctg ( x)) ⎟ + C =
       17 ⎝ 4                                                         ⎠
        1 ⎛1                            2             π     ⎞
=−        ⎜ ln(4ctg ( x) + 1) + 2 ln(ctg ( x) + 1) − ( − x) ⎟ + C .
       17 ⎝ 4                                         2     ⎠
           Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригономет-
рических функций в виде таблицы 4.


                                                                18

Страницы