Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 21 стр.

               1.5. Интегрирование иррациональных функций

             Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррацио-
нальные функции:
•        Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются мето-
         дом замены переменной.
Примеры:

                   dx                                    − 2dx                             − dx    − 2t 3dt         t 2 dt
a)   ∫       1 − 2x − 4 1 − 2x
                               = 4
                                   1 − 2 x = t ; dt =
                                                      4 4 1 − 2x    (             )3
                                                                                       =
                                                                                           2t 3
                                                                                                = ∫ t2 − t  = − 2 ∫ t −1 =

      ⎛     t ⎞                    t                 ⎛    1 ⎞
= −2∫ ⎜ t +   ⎟dt = −2∫ tdt − 2∫      dt = −t 2 − 2∫ ⎜1 +   ⎟dt = −t − 2t − 2 ln t − 1 + C =
                                                                    2

      ⎝ t −1⎠                    t −1                ⎝ t −1⎠
= − 1 − 2 x − 24 1 − 2 x − 2 ln 4 1 − 2 x − 1 + C.

         3
             x −1 + 4 x −1               12
                                              x − 1 = t; x − 1 = t 12            (t 4 + t 3 )12t 11dt      t3 + t2
b) ∫                              dx =                                   =∫                           =   ∫ t 2 + 1 dt =
                 (
       ( x − 1) 1 + 6 x − 1   )          dx = 12t 11dt                               t 12 (1 + t 2 )
                                                                                                        12


     ⎛ t3               t2       ⎞      ⎛ ⎛        t ⎞       ⎛     1 ⎞ ⎞                        tdt
= 12⎜⎜ ∫ 2     dt + ∫ 2      dt ⎟⎟ = 12⎜⎜ ∫ ⎜ t − 2 ⎟dt + ∫ ⎜1 − 2 ⎟dt ⎟⎟ = 12∫ tdt − 12∫ 2          + 12∫ dt −
     ⎝ t +1           t +1 ⎠            ⎝ ⎝ t + 1⎠           ⎝ t + 1⎠ ⎠                       t +1
         dt
− 12∫         = 6t 2 + 12t − 6 ln(t 2 + 1) − 12arctg(t ) + C = 66 x − 1 + 1212 x − 1 − 6 ln(6 x − 1 + 1) −
       1+ t 2


− 12arctg(12 x − 1) + C.

                                         5
                                           (4 x + 8) − 13
               5x − 3                    4                    5    4x + 8                     dx
с)   ∫       2x 2 + 8x + 1
                             dx = ∫
                                           2 x 2 + 8x + 1
                                                          dx = ∫
                                                              4  2x 2 + 8x + 1
                                                                               dx − 13∫
                                                                                        2 x 2 + 8x + 1
                                                                                                       =


     2 x 2 + 8x + 1 = t           5 dt 13                      dx                 5        13             dx
                                  4∫ t               ∫                                            ∫
=                            =         −                                     =      ⋅2 t −                           =
     (4 x + 8)dx = dt                    2                        1               4         2                    7
                                                         x + 4x +
                                                           2
                                                                                                      ( x + 2) −
                                                                                                               2

                                                                  2                                              2

     5                 13                       1
=      2x 2 + 8x + 1 −    ln x + 2 + x 2 + 4 x + + C.
     2                  2                       2



          Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынте-
гральные выражения, представленные в таблице 5.




                                                                        20