Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

22
Примеры:
а)
∫
+−
+−
dx
xx
xx
52
173
2
23
Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
∫∫
+−
λ++−++=
+−
+−
52
52)(
52
173
2
22
2
23
xx
dx
xxCBxAxdx
xx
xx
.
Продифференцируем полученное выражение:
52
)1(
52
52)2(
52
173
22
2
2
2
23
+−
λ
+−
+−
++
++−+=
+−
+−
xx
x
xx
CBxAx
xxBAx
xx
xx
Умножим на
cbxax ++
2
и сгруппируем коэффициенты при одинако-
вых степенях х:
λ+−++++−+ )1)(()52)(2(
22
xCBxAxxxBAx =
173
23
+− xx
λ+−−−++++−++− CBxAxCxBxAxBBxBxAxAxAx
223223
521042 = 173
23
+− xx
1735)310()25(3
2323
+−=λ+−++−+−− xxCBxCBAxBAAx
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=λ
−=
−=
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=λ+−
=+−
=−
=
7
13
1
1
15
0310
725
1
C
B
A
CB
CBA
BA
A
Итого
∫∫
+−
−+−−−=
+−
+−
4)1(
752)13(
52
173
2
22
2
23
x
dx
xxxxdx
xx
xx
=
=
.)521ln(752)13(
222
Cxxxxxxx ++−+−−+−−−
b)
∫
+− dxxxx 3)64(
22
Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
=
+
+−
=+−
∫∫
dx
x
xxx
dxxxx
3
)3)(64(
3)64(
2
22
22
∫
+
+++++
3
3)(
2
223
x
dx
xDCxBxAx
λ
Дифференцируем полученное выражение:
33
)(
3)23(
3
181264
22
23
22
2
234
+
λ
+
+
+++
++++=
+
−+−
xx
xDCxBxAx
xCBxAx
x
xxxx
Примеры:
          3x 3 − 7 x 2 + 1
а)   ∫      x 2 − 2x + 5
                             dx


           Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
    3x 3 − 7 x 2 + 1                                                               dx
∫     x 2 − 2x + 5
                        dx = ( Ax 2 + Bx + C ) x 2 − 2 x + 5 + λ ∫
                                                                               x 2 − 2x + 5
                                                                                                 .

           Продифференцируем полученное выражение:
3x 3 − 7 x 2 + 1                                            Ax 2 + Bx + C                            λ
                       = (2 Ax + B ) x − 2 x + 5 +
                                           2
                                                                               ( x − 1) +
     x − 2x + 5
      2
                                                                  x − 2x + 5
                                                                   2
                                                                                              x − 2x + 5
                                                                                                 2



           Умножим на                 ax 2 + bx + c и сгруппируем коэффициенты при одинако-

вых степенях х:
                       (2 Ax + B )( x 2 − 2 x + 5) + ( Ax 2 + Bx + C )( x − 1) + λ = 3x 3 − 7 x 2 + 1

 2 Ax 3 − 4 Ax 2 + 10 Ax + Bx 2 − 2 Bx + 5 B + Ax 3 + Bx 2 + Cx − Ax 2 − Bx − C + λ = 3x 3 − 7 x 2 + 1

                     3 Ax 3 − (5 A − 2 B) x 2 + (10 A − 3B + C ) x + 5 B − C + λ = 3 x 3 − 7 x 2 + 1

                                           ⎧A = 1                              ⎧A = 1
                                           ⎪5 A − 2 B = 7                      ⎪ B = −1
                                           ⎪                                   ⎪
                                           ⎨                                   ⎨
                                           ⎪10 A − 3B + C = 0                  ⎪C = −13
                                           ⎪⎩5B − C + λ = 1                    ⎪⎩λ = −7

                  3x 3 − 7 x 2 + 1                                                          dx
Итого         ∫     x 2 − 2x + 5
                                     dx = ( x 2 − x − 13) x 2 − 2 x + 5 − 7 ∫
                                                                                     ( x − 1) 2 + 4
                                                                                                         =

              = ( x 2 − x − 13) x 2 − 2 x + 5 − 7 ln( x − 1 + x 2 − 2 x + 5) + C.


b) ∫ (4 x 2 − 6 x) x 2 + 3dx

           Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
                                       (4 x 2 − 6 x )( x 2 + 3)                                                       dx
∫ (4 x − 6 x) x + 3dx = ∫                                         dx = ( Ax 3 + Bx 2 + Cx + D) x 2 + 3 + λ ∫
      2        2

                                                x2 + 3                                                             x2 + 3

           Дифференцируем полученное выражение:
4 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x                                                ( Ax 3 + Bx 2 + Cx + D) x            λ
                                     = (3 Ax 2 + 2 Bx + C ) x 2 + 3 +                                        +
                  x2 + 3                                                                    x2 + 3               x2 + 3



                                                                       22

Страницы