Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 24 стр.

         Перегруппировываем:
          4 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x = (3 Ax 2 + 2 Bx + C )( x 2 + 3) + Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + λ

4 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x = 3 Ax 4 + 2 Bx 3 + Cx 2 + 9 Ax 2 + 6 Bx + 3C + Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + λ

            4 x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 18 x = 4 Ax 4 + 3Bx 3 + (2C + 9 A) x 2 + (6 B + D) x + 3C + λ

                                         ⎧ 4 A = 4,             ⎧ A = 1,
                                         ⎪ 3B = −6,             ⎪ B = −2,
                                         ⎪⎪                     ⎪
                                                                ⎪C = 3 ,
                                          ⎨ 2C + 9 A = 12,      ⎨        2
                                          ⎪6 B + D = −18,       ⎪ D = −6,
                                          ⎪                     ⎪
                                          ⎪⎩ 3C + λ = 0.        ⎪⎩λ = − 9 2 .

                                                ⎛              3      ⎞          9
                ∫ (4 x       − 6 x) x 2 + 3dx = ⎜ x 3 − 2 x 2 + x − 6 ⎟ x 2 + 3 − ln x + x 2 + 3 + C.
                         2

                                                ⎝              2      ⎠          2



• К третьему типу относят интегралы вида                                    (
                                                                        ∫ R x , ax
                                                                                       2
                                                                                                     )
                                                                                           + bx + c dx .

        Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая
называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под ра-
                                               ⎛            2         2⎞
дикалом полный квадрат, т.е. ax 2 + bx + c = a ⎜ ⎛⎜ x + b ⎞⎟ + 4ac − b ⎟ , и вводят
                                               ⎜                    2 ⎟         2a ⎠
                                                                      ⎝⎝                        4a        ⎠
                                2
обозначение: x + b = t , 4ac − b = m 2 .
                                2a          4a 2

Примеры:
                    x = sin(t )
          dx                             cos(t )dt      dt                       x
a) ∫              = dx = cos(t )dt    =∫           =∫          = tg (t ) + C =         + C.
     (1 − x )
           2 3/ 2                            3
                                         cos (t )        2
                                                      cos (t )                 1 − x 2

                    cos(t ) = 1 − x 2

                            2            2 sin(t )
         dx          x=          ; dx =            dt     2 sin(t ) cos(t )dt     1
b) ∫ 2                                   cos 2 (t ) =
    x( x − 4) 5/ 2
                   =     cos(t )
                                                      ∫                         =
                                                        cos (t ) ⋅ 2 ⋅ 2 tg (t ) 32
                                                            2           5  5        ∫ ctg 4 (t )dt =
                      x 2 − 4 = 2tg (t )

     1              ⎛ 1           ⎞        1                            1                     1
=
    32 ∫ ctg 2 (t )⎜⎜    2
                              − 1⎟⎟ dt = − ∫ ctg 2 (t ) d (ctg (t )) −
                    ⎝ sin (t ) ⎠          32                           32 ∫ ctg 2 (t ) dt = − ctg 3 (t ) −
                                                                                             96

     1 ⎛ 1           ⎞        1             1             t                                 2                    1
−     ∫ ⎜⎜  2
                 − 1⎟⎟ dt = − ctg 3 (t ) +
    32 ⎝ sin (t ) ⎠          96            32
                                              ctg (t ) +
                                                         32
                                                            + C = ctg (t ) =
                                                                                           x −4
                                                                                           2
                                                                                                     =−
                                                                                                          12 ( x − 4) 3 / 2
                                                                                                                2
                                                                                                                            +



                                                          23