Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 26 стр.

        Академиком Чебышевым П.Л.1 было доказано, что интеграл от диф-
ференциального бинома может быть выражен через элементарные функ-
ции только в следующих трех случаях:                                                                                                                     Таблица 7.
№                               случаи                                                                                                      замена
1       р – целое число                                                                 t = λ x или x = t λ ,
                                                                                        где λ-общий знаменатель m и n.
2       m +1
             – целое число                                                              подстановкой t = s a + bx n ,
         n
                                                                                        где s – знаменатель числа р.
3       m +1                                                                                         a + bx n
             + p - целое число                                                          t=   s                , где s – знаменатель числа р.
         n                                                                                              xn

Примеры:
                                                      1        m +1
                                                          ∉ Z,        = 2∈Z
                                                                      1                 здесь p =
                    − ⎛
                                                       3         n
     3
       1+ x
         4           1         1
                                  ⎞                                   3
a) ∫        dx = ∫ x 2 ⎜⎜1 + x 4 ⎟⎟ dx = поэтому применим подстановку                         =
         x              ⎝         ⎠            1
                                                                    4                3
                                         1 + x 4 = t 3 ; x = t 3 − 1 ; dx = 4 t 3 − 1 3t 2 dt                           (               )        (   )
                                                                   ⎛ t7 t4 ⎞
    (   3
                )−2
                                (   3
                                         )
                                         3
= ∫ t − 1 t ⋅ 4 t − 1 3t dt = 12 ∫ t t − 1 dt = 12 ∫ t − t dt = 12⎜⎜ − ⎟⎟ + C =
                                                     2                          3
                                                                                    (   3
                                                                                                 )              (   6           3
                                                                                                                                    )
                                                                   ⎝7 4⎠
  12
            ( 7   3
                        )
= 3 1+ 4 x − 3 1+ 4 x + C
   7              4
                            4
                                         (                    )
                                                     3      m +1    1      m +1
                                         здесь p = − ∉ Z ;       = − ∉ Z;       + p = −2 ∈ Z
b) ∫ x −2 (1 + x            )
                           3
                        2 −2                         2       n      2       n
                                    dx =                                                      =
                                                                                                            (               )                   (    )
                                                                          1                 3
                                                  −2                    −         1 2     −
                                         замена x + 1 = t ⇒ x = t − 1 , dx = − t − 1 2tdt
                                                           2        2     2                 2
                                                                                  2
                                                 3
                                             −
                                                                                                 t 2 −1
        (     ⎛
                    )1 ⎞
                                                     (t           )                                              ⎛    1⎞
                                                                          3
                                                 2                 −                                                              1            1
= − ∫ t 2 − 1 ⎜1 + 2   ⎟
                                                          2
                                                              −1          2   tdt = − ∫                 dt = − ∫ ⎜1 − 2 ⎟dt = −t − + C = − 1 + 2 −
              ⎝ t − 1⎠
                                                                                                      2
                                                                                                    t            ⎝ t ⎠            t           x

−
        1
                    +C = −
                           (2 x              2
                                                     +1   ) +C
            1                           x x +1   2
    1+
            x2


        1
       Чебышев Пафнутий Львович (4(16).5.1821 – 26.11(8.12).1894) – русский мате-
матик и механик. Получил основопологающие результаты во многих разделах матема-
тики и механики.


                                                                                                       25