Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 25 стр.

            1              1        ⎛ 2⎞
+                    +       arccos ⎜ ⎟ + C .
    16 x − 4 2            32        ⎝ x⎠

                                                2
                   x = 2tg (t )                        dt
       dx                                   cos 2 ( x)                                   dt
с) ∫          =
                dx =
                         2
                                dt
                                   =∫                             =∫                                          =
     x 4 + x2            2
                     cos ( x)         2tg ( x ) 4  + 4 tg 2
                                                            ( x )    tg ( x ) cos 2
                                                                                    ( x )   4(1 + tg 2
                                                                                                       ( x ))

                      dt                                cos(t )dt                    1   dt    1      ⎛t⎞
=∫                                         =∫                                    =     ∫      = ln tg ⎜ ⎟ + C =
                                 1                                       1           2 sin(t ) 2      ⎝ 2⎠
        2tg (t ) cos 2 (t )                     2 sin(t ) cos 2 (t )
                              cos 2 (t )                               cos(t )

        ⎛       ⎛ x⎞⎞
        ⎜ arctg ⎜ ⎟ ⎟
 1              ⎝ 2 ⎠ ⎟ + C.
= ln tg ⎜
 2      ⎜     2       ⎟
        ⎜             ⎟
        ⎝             ⎠

          Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынте-
гральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригономет-
рические подстановки, представленные в таблице 6.
                                                                                                                 Таблица 6.
                 подынтегральное
    №                                                            замена                                     dt
                     выражение

    1                 (
                    R t, m 2 − t 2          )        t = m sin( z ) или t = m cos( z )
                                                                                                   dt = m cos( z )dz или
                                                                                                   dt = − m sin( z )dz
                                                                                                        m sin( z )
                                                                                                   dt =             dz или
    2                 (
                    R t, t 2 − m 2          )        t=
                                                            m
                                                          cos(z )
                                                                  или t =
                                                                            m
                                                                          sin(z )
                                                                                                   dt =
                                                                                                        cos 2 ( z )
                                                                                                          − m cos( z )
                                                                                                                       dz
                                                                                                              2
                                                                                                           sin ( z )
                                                                                                             m
                                                                                                   dt =               dz или
                                                                                                          cos 2 ( z )
    3                 (
                   R t, t 2 + m 2           )        t = m ⋅ tg ( x) или t = m ⋅ ctg ( z )
                                                                                                   dt =
                                                                                                            −m
                                                                                                                    dz
                                                                                                             2
                                                                                                          sin ( z )



• Четвёртый тип                                 (            )   p
                                           ∫ x a + bx dx , где m, n, и p – рациональные числа,
                                              m      n



    называют интегралами от дифференциального бинома.

                                                                       24