Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 20 стр.

                                                                                                            Таблица 4.
№    подынтегральное                                                замена                                     dx
        выражение
1.                                              универсальная замена
                                                        ⎛ x⎞
                                                 t = tg ⎜ ⎟, x = 2arctg (t ),                                    2dt
       R(sin( x), cos( x))dx                            ⎝ 2⎠                                             dx =
                                                                                                                1+ t2
                                                          2t                 1− t 2
                                             sin( x) =          , cos( x) =
                                                        1+ t2                1+ t2
2.                                                                         t2
                                                t = tg ( x), sin 2 ( x) =       ,
     R (sin n ( x), cos m ( x))dx,                                        1+ t2                                     dt
                                                                                                         dx =
     n и m − четные числа
                                                      cos 2 x =
                                                                       1                                        1+ t2
                                                                    1+ t2
3.           R (tg ( x))dx                            t = tg ( x), x = arctg (t )                        dx =
                                                                                                                    dt
                                                                                                                1+ t2
            R(ctg ( x))dx                            t = ctg ( x), x = arcctg (t )                                dt
                                                                                                        dx = −
                                                                                                                 1+ t2
4.   R (sin n ( x), cos m ( x))dx,
                                                        cos( x) = t
          n − нечетная,                                                                               sin( x)dx = −dt
                                              sin ( x) = 1 − cos 2 ( x) = 1 − t 2
                                                      2
           m − четная.
5.   R (sin n ( x), cos m ( x))dx,
                                                         sin( x) = t
           n − четная,                                                                                 cos( x)dx = dt
                                               cos ( x) = 1 − sin 2 ( x) = 1 − t 2
                                                       2
          m − нечетная.
6.   R (tg m ( x) sec n ( x))dx,
             m          n
                                             tg ( x) = t , 1 + tg 2 ( x) = sec 2 ( x)                 sec 2 ( x)dx = dt
     R (ctg ( x) csc ( x))dx,
                                           ctg ( x) = t , 1 + ctg 2 ( x) = csc 2 ( x)                  − csc 2 ( x)dx = dt
     n − четное, n > 0
7.                                                     Понижается степень по формуле
                                                     1 + cos(2 x)                1 − cos(2 x)                       sin( 2 x)
      sin 2 n ( x) ⋅ cos 2 m ( x)dx   cos 2 ( x) =                , sin 2 ( x) =              , sin( x) ⋅ cos( x) =
                                                          2                           2                                2


8.    sin(αx) ⋅ cos( βx)dx,           sin((α − β ) x) + sin((α + β ) x) cos((α − β ) x) − cos((α + β ) x)
                                                                       ,                                  ,
                                                      2                                  2
      sin(αx) ⋅ sin( βx)dx,
                                                       cos((α − β ) x) + cos((α + β ) x)
      cos(αx) ⋅ cos( βx)dx.
                                                                       2
9.                                             Применяются рекуррентные формулы
                                                            sin( x)         ⎛     1 ⎞
                                           ∫ sec                         + ⎜1 − ⎟ ∫ sec 2 n −1 ( x)dx
                                                     2 n +1
         R (sec 2 n +1 ( x))dx,                               ( x)dx =
                                                                 2n
                                                          2n cos ( x) ⎝ 2n ⎠
         R(csc 2 n +1 ( x))dx.
                                                           − cos( x)        ⎛    1 ⎞
                                           ∫ csc ( x)dx = 2n sin 2n ( x) + ⎜⎝1 − 2n ⎟⎠∫ csc ( x)dx
                                                2 n +1                                     2 n −1



Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных
sin(x) и cos(x) . Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).

                                                               19