Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

17
• Метод замены переменной.
Примеры:
c)
=
−+−
=
−
=
−=
==
=
∫∫∫
dt
t
ttt
dt
t
t
xx
dtdxxtx
x
dxx
4
642
4
32
22
4
7
331)1(
)(sin1)(cos
;)cos(;)sin(
)(sin
)(cos
.
3
)(sin
)sin(3
)sin(
3
)(sin3
1
3
1
3
3
3
1
33
3
3
3
3
2
24
C
x
x
x
x
tt
t
t
dttdt
t
dt
t
dt
+−++−=
=−++−=−+−=
∫∫∫∫
d)
=
+⋅
−
=
−
=
=⋅⋅−⋅⋅
=
=
+
∫∫
)4(2
2
)4sin(
2))2sin(()2cos(2
)2(cos
4)2(cos
)4sin(
2
2
4
t
dt
dt
dxx
dtdxxx
tx
x
dxx
.
4
2
)2(cos
222
1
2
C
x
arctg
C
t
arctg +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
−=
e)
() ()
∫∫∫ ∫
=+=
=
=
=+== dtt
dt
x
dx
ttgx
x
dx
xtg
xx
dx
x
dx
2
2
2
2
224
1
cos
cos
1
coscoscos
.
33
33
C
xtg
tgxC
t
t ++=++=
• Метод универсальной тригонометрической подстановки
(универсальной замены).
Примеры:
f)
=
+
+
−
+
+
+
=
+
−
=
+
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
++
∫∫
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
1
)cos(;
1
2
)sin(
;
1
2
;
2
5)cos(3)sin(4
2
2
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
dt
t
t
x
t
t
x
t
dt
dx
x
tgt
xx
dx
.
2
2
1
2
1
)2(44882
2
55338
2
22222
C
x
tg
C
t
t
dt
tt
dt
tt
dt
ttt
dt
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
=+
+
−=
+
=
++
=
++
=
++−+
=
∫∫∫∫
• Метод замены переменной.
Примеры:
     cos 7 ( x)dx sin( x) = t ; cos( x)dx = dt ;    (1 − t 2 ) 3        1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6
c) ∫             =                               =∫              dt = ∫                       dt =
      sin 4 ( x)   cos 2 ( x) = 1 − sin 2 ( x)          t4                       t4

   dt       dt                       1 3           1
=∫   4
       − 3∫ 2 + 3∫ dt − ∫ t 2 dt = − 3 + + 3t − t 3 =
   t        t                       3t     t       3
                                        3
        1         3                  sin ( x)
=−       3
               +       + 3 sin( x) −          + C.
   3 sin ( x) sin( x)                   3

                                            cos 2 ( 2 x ) = t
d)        sin( 4 x ) dx                                                               − dt
     ∫   cos 4 ( 2 x ) + 4
                           = 2 ⋅ cos( 2 x ) ⋅ ( − sin( 2 x )) ⋅ 2 ⋅ dx = dt =   ∫ 2 ⋅ (t
                                                                                       2
                                                                                         + 4)
                                                                                              =
                                                           − dt
                                        sin( 4 x ) dx =
                                                             2

                                     ⎛ cos 2 (2 x) ⎞
                            − arctg ⎜⎜             ⎟⎟
         1        ⎛t⎞                ⎝     2        ⎠
     =−     arctg ⎜ ⎟ + C =                           + C.
        2⋅2       ⎝ 2⎠                 4

                                                                           tgx = t
     ∫ cos 4 x = ∫ cos 2 x cos 2 x = ∫ (1 + tg x ) cos 2 x =                          = ∫ (1 + t 2 )dt =
         dx              dx                          dx
e)                                            2
                                                                           dx
                                                                                 = dt
                                                                         cos 2 x

          t3             tg 3 x
=t+          + C = tgx +        + C.
          3                3

• Метод универсальной тригонометрической подстановки
     (универсальной замены).
Примеры:
                                        ⎛ x⎞        2dt                         2dt
                                 t = tg ⎜ ⎟; dx =         ;
                dx                      ⎝ 2⎠       1+ t 2
                                                                               1+ t2
f) ∫                           =                                    =∫                     =
     4 sin( x) + 3 cos( x) + 5               2t              1− t2        2t      1− t2
                                 sin( x) =       ; cos( x) =           4       +3       +5
                                           1+ t2             1+ t 2      1+ t2    1+ t2

              dt                      dt                                dt                 dt              1
= 2∫                         = 2∫ 2           =               ∫t                =   ∫ (t + 2 )       =−       +C =
    8t + 3 − 3t 2 + 5 + 5t 2     2 t + 8t + 8                      2
                                                                       + 4t + 4                  2
                                                                                                          t+2
        1
=−             + C.
      ⎛ ⎞
       x
   tg ⎜ ⎟ + 2
      ⎝2⎠




                                                                17

Страницы