Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 16 стр.

⎧C = 9 − A − B                           ⎧C = 9 − A − B              ⎧A = 5
⎪ D = 24 − 2 A − 4 B                     ⎪ D = 24 − 2 A − 4 B        ⎪B = 3
⎪                                        ⎪                           ⎪
⎨                                        ⎨                           ⎨
⎪4 A + 10 B = 50                         ⎪4 A + 10 B = 50            ⎪C = 1
⎪⎩50 − 10 B + 5 B = 35                   ⎪⎩ B = 3                    ⎪⎩ D = 2

   В итоге получается:
        5             3        x+2                                       x          2
    ∫ x − 2 dx + ∫ x − 4 dx + ∫ x
                                2
                                  +4
                                      dx = 5 ln x − 2 + 3 ln x − 4 + ∫ 2
                                                                      x +4
                                                                           dx + ∫ 2
                                                                                 x +4
                                                                                      dx =

                              1                     ⎛ x⎞
   = 5 ln x − 2 + 3 ln x − 4 + ln( x 2 + 4) + arctg ⎜ ⎟ + C.
                              2                     ⎝ 2⎠

     6 x 5 − 8 x 4 − 25 x 3 + 20 x 2 − 76 x − 7
b) ∫                                            dx .
               3 x 3 − 4 x 2 − 17 x + 6
   Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:
      6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7    3x3 – 4x2 – 17x + 6
      6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2              2x2 + 3
                   9x3 + 8x2 – 76x - 7
                    9x3 – 12x2 – 51x +18
                           20x2 – 25x – 25
   Следовательно,
   ⎡ 2             20 x 2 − 25 x − 25 ⎤                                   4 x 2 − 5x − 5      2
∫ ⎢⎣      +   +                            = ∫          + ∫     +   ∫                     dx = x 3 + 3 x +
                                                   2
     2 x    3                         ⎥ dx     2 x   dx     3dx   5
                  3x − 4 x − 17 x + 6 ⎦
                    3      2
                                                                      3x − 4 x − 17 x + 6
                                                                        3        2
                                                                                              3
            4 x 2 − 5x − 5
+ 5∫ 3                         dx.
        3x − 4 x 2 − 17 x + 6
         Для нахождения корней уравнения 3x 3 − 4 x 2 − 17 x + 6 = 0 применяем
схему Горнера:
                                                 коэффициенты перед x
                                                   3   – 4 – 17 6
                                    ре        3    3    5   –2    –
                                   ше        –2    3   –1    –    –
                                   ние       1/3   3    –    –    –

Получаются: 3x 3 − 4 x 2 − 17 x + 6 = 3( x − 3)( x + 2)( x − 1 / 3) .
Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.
                  4 x 2 − 5x − 5             4 x 2 − 5x − 5
Отсюда      ∫ 3x 3 − 4 x 2 − 17 x + 6 ∫ ( x − 3)( x + 2)(3x − 1) .
                                     dx =

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементар-


                                                       15