Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 14 стр.

           1        ⎛ y⎞ 1 ⎛        y      1   dy ⎞⎟
       =      arctg ⎜ ⎟ − ⎜⎜ −           +   ∫          =
           64                       (                )
                    ⎝ 4 ⎠ 16 ⎝ 2 y 2 + 16 2 y 2 + 16 ⎟⎠
           1        ⎛ y⎞       y       1 1       ⎛ y⎞        1        ⎛ y⎞       y
       =      arctg ⎜ ⎟ +            −  ⋅             +   =                 +           + C.
           64                   (
                    ⎝ 4 ⎠ 32 y 2 + 16 2 64)arctg ⎜
                                                 ⎝4⎠
                                                    ⎟   C
                                                            128
                                                                arctg ⎜   ⎟
                                                                      ⎝ 4 ⎠ 32 y 2 + 16                  (             )

            В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дро-
бей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.
                                                                                                             Таблица 3.
           подынтегральное
№                                        преобразования                        замена                        dx
              выражение
                    1                                                                                             dt
 I.                                                                            ax + b = t               dx =
                  ax + b                                                                                          a
                    1                                                                                             dt
II.                                                                            ax + b = t               dx =
                (ax + b) m                                                                                        a

                                                              1
                    1                                     2                         p                    dx = dt
III.                                    ⎛    p⎞ ⎛        p2 ⎞                  x+     =t
                x + px + q
                 2
                                        ⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ q −    ⎟                       2
                                        ⎝    2⎠ ⎝        4 ⎟⎠

                                                         Mx + N                                dx = dt и расклады-
                  Mx + N                                  2                         p
IV.                                     ⎛     p⎞ ⎛        p2 ⎞                 x+     = t,       вается на сумму
                x + px + q
                 2
                                        ⎜ x +   ⎟ + ⎜ q −    ⎟                      2
                                        ⎝     2 ⎠ ⎜⎝      4 ⎟⎠
                                                                                                 двух интегралов
                                                              1
                                                                         n
                    1                   ⎛⎛          2          2 ⎞                                       dx = dt
V.                                      ⎜ ⎜ x + p ⎞⎟ + ⎛⎜ q − p ⎞⎟ ⎟           x+
                                                                                    p
                                                                                      =t
              ( x + px + q) n
                 2                      ⎜⎝
                                        ⎝       2 ⎠ ⎜⎝        4 ⎟⎠ ⎟⎠               2


                                                         и применяется рекуррентная формула
                                                         dt                  t                  2n − 3       dt
                                              ∫ (t   2
                                                         + s) n
                                                                =
                                                                  s ( 2n − 2)( t + s )
                                                                                2      n −1
                                                                                            +           ∫
                                                                                              s( 2n − 2) (t + s ) n −1
                                                                                                           2
                                                                                                                       .


            m, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и D <0.


           Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируют-
ся с помощью метода неопределенных коэффициентов.


                                                                  13