Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

10
∫
dxxe
x
)cos(
2
(
)
∫
+−−= dxxexexe
xxx
)cos(2)cos(2)sin(
222
=
=
∫
⋅−+ dxxexexe
xxx
)cos(4)cos(2)sin(
22
.
Обозначается,
Idxxe
x
=
∫
)cos(
2
. Тогда IxexeI
xx
4)cos(2)sin(
22
−+= .
Следовательно,
∫
++= .))cos(2)(sin(
5
)cos(
2
2
Cxx
e
dxxe
x
x
h)
∫
dxx))sin(ln(
Интегрируется по частям: пусть
;)),sin(ln( dxdvxu
=
=
тогда
xvdx
x
xdu == ,
1
))cos(ln( . Следовательно,
∫∫∫
−⋅=⋅−⋅= dxxxxxdx
x
xxxdxx ))cos(ln())sin(ln(
1
))cos(ln())sin(ln())sin(ln(
.
Еще раз интегрируется по частям: пусть
;)),cos(ln( dxdvxu =
=
тогда
xvdx
x
xdu =−= ,
1
))sin(ln( . Получается,
.))sin(ln())cos(ln())sin(ln(
1
))sin(ln())cos(ln())sin(ln())sin(ln(
∫
∫∫
−⋅−⋅=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+⋅−⋅=
dxxxxxx
xdx
x
xxxxxdxx
Обозначают,
Idxx =
∫
))sin(ln( . Тогда .))cos(ln())sin(ln( IxxxxI −
⋅
−
⋅
=
Следовательно,
()
.))cos(ln())sin(ln(
2
Cxx
x
I +−=
k)
∫
++ dxxx )1ln(
2
Интегрируется по частям: пусть
(
)
;,1ln
2
dxdvxxu =++=
тогда
xv
x
dx
du =
+
= ,
1
2
.
Следовательно,
(
)
=
+
−++⋅=++
∫∫
1
1ln)1ln(
2
22
x
xdx
xxxdxxx
=
==
=+=+
.;22
;1;1
22
tdtxdxtdtxdx
txtx
(
)
(
)
(
)
.11ln
1ln1ln
22
22
Cxxxx
Ctxxxdtxxx
++−++⋅=
=+−++⋅=−++⋅=
∫
      ∫e
           2x                2x
                                             (
                cos( x)dx = e sin( x) − 2 − e cos( x) + 2 ∫ e cos( x ) dx =
                                             2x              2x
                                                                                           )
     = e 2 x sin( x) + 2e x cos( x) − 4∫ e 2 x ⋅ cos( x)dx .

      Обозначается, ∫ e 2 x cos( x)dx = I . Тогда I = e 2 x sin( x) + 2e 2 x cos( x) − 4 I .

                                                         e2x
       Следовательно, ∫ e 2 x cos( x)dx =                    (sin( x) + 2 cos( x)) + C.
                                                          5

h) ∫ sin(ln( x)) dx

     Интегрируется по частям: пусть u = sin(ln( x)), dv = dx; тогда
                      1
      du = cos(ln( x)) dx, v = x . Следовательно,
                      x
                                                             1
      ∫ sin(ln( x))dx = x ⋅ sin(ln( x)) − ∫ cos(ln(x)) x ⋅ xdx = x ⋅ sin(ln( x)) − ∫ cos(ln( x))dx .
     Еще раз интегрируется по частям: пусть u = cos(ln(x)), dv = dx; тогда
                        1
      du = − sin(ln( x)) dx, v = x . Получается,
                        x
                                             ⎛                                       1         ⎞
      ∫ sin(ln( x))dx = x ⋅ sin(ln( x)) − ⎜⎝ x ⋅ cos(ln( x)) + ∫ sin(ln( x)) x ⋅ xdx ⎟⎠ =
      = x ⋅ sin(ln( x)) − x ⋅ cos(ln( x)) − ∫ sin(ln( x))dx.

     Обозначают, ∫ sin(ln( x))dx = I . Тогда I = x ⋅ sin(ln( x)) − x ⋅ cos(ln( x)) − I .
                                      x
     Следовательно, I = (sin(ln( x)) − cos(ln( x)) ) + C.
                                      2

k)   ∫ ln( x +       x 2 + 1)dx

     Интегрируется по частям: пусть u = ln x + x 2 + 1 , dv = dx;    (               )
                         dx
     тогда du =                  , v = x.
                        x2 +1

     Следовательно,

                 2
                                      (
      ∫ ln( x + x + 1)dx = x ⋅ ln x + x + 1 − ∫
                                       2
                                                     )       xdx
                                                                         =
                                                                               x 2 + 1 = t; x 2 + 1 = t;
                                                                             2 xdx = 2tdt ; xdx = tdt.
                                                                                                         =
                                                            x 2 +1

                (                )               (
       = x ⋅ ln x + x 2 + 1 − ∫ dt = x ⋅ ln x + x 2 + 1 − t + C =)
       = x ⋅ ln (x +    x2   + 1 )−   x 2 + 1 + C.

                                                            10

Страницы