Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

6
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ог-
раниченной линиями 0=y ,
2
2
x
y = , 062
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
2ln yxyz −⋅= удовлетворяет уравнению
2
221
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
584
22
+−−+= yxyxz в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 02 ≤− y
x
; 03 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
1
0
2
2
);(
y
y
dxyxfdy
.
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0
=y ,
2
xy = , 124 +−=
x
y ;
б)
02
22
=+− xyy
,
04
22
=+− xyy
,
3
x
y
= ,
xy 3=
.
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
yxz += , 1=z , 0=
x
,
x
y 2= .
14. Вычислить
()()
∫
+++
C
dyyxdxxy 22, где контур С образован линиями
2
4xy = , 4=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 62)(2
, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,3
),2sin(
,2cos
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 22ln
22
−+=
в точке
(
)
1;2;1
−
A
найти градиент и
производную по направлению kjia
r
r
r
r
32 +−= .
17. Найти в точке
()
3;2;1B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 5
2
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ог-
                                     x2
раниченной линиями y = 0 , y =          , 2x + y − 6 = 0 .
                                      2
                                          (            )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 2 x 2 − y 2 удовлетворяет уравнению
1 ∂z 2 ∂z 2 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 8 x − y + 5 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; x − 2y ≤ 0; x + y − 3 ≤ 0.
                                                  1    y+2

11. Изменить порядок интегрирования:
                                                  ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                  0        2y
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , y = −4 x + 12 ;
                                          , y = 3x .
б) y 2 − 2 y + x 2 = 0 , y 2 − 4 y + x 2 = 0 , y = x
                                        3
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
z = x 2 + y 2 , z = 1, x = 0 , y = 2x .
14. Вычислить
                   ∫ ( y + 2 x)dx + 2(x + y )dy , где контур С образован линиями
                   C
        2
 y = 4x , y = 4 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                   ∫ 2( x + z)dx + (2 y + z )dy − 6 zdz , где контур С является одним
                   С
                       ⎧ x = cos(2t ),
                       ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = sin(2t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                       ⎪ z = 3t ,
                       ⎩
                            (                 )
16. Для функции u = ln 2 x 2 + y 2 − 2 z в точке A(− 1; 2;1) найти градиент и
                                         r r   r
                                   r
производную по направлению a = 2i − j + 3k .
17. Найти в точке B(1; 2; 3) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 2x 2 r z 2 − y 2 r             r
F=            ⋅i +           ⋅ j + 5z ⋅ k .
        y             x




                                                  6

Страницы