Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

8
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y ,
2/
2
xy =
, 01032
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
32ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
223
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
13384
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 023 ≤− y
x
; 05 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
3
0
2
3/2
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0=y ,
2
xy = , 124 +−=
x
y ;
б)
04
22
=+− xxy, 08
22
=+− xxy,0
=
y ,
3
x
y = .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
3 yxz += , 3=z , 0=
x
,
x
y 23
=
.
14. Вычислить
()()
∫
+++
C
dyyxdxxy 223, где контур С образован линиями
2
49 xy =
, 4=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 1032)(2, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,5
),2sin(3
,2cos3
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 432ln
22
−+= в точке
(
)
1;2;3
−
A найти градиент и
производную по направлению kjia
r
r
r
r
832 +−= .
17. Найти в точке
()
3;2;1B
дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 13
3
2
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 2 , 2 x + 3 y − 10 = 0 .
                                    (            )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 2 x 2 − 3 y 2 удовлетворяет уравнению
3 ∂z 2 ∂z 2 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 8 x − 3 y + 13 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 3x − 2 y ≤ 0 ; x + y − 5 ≤ 0 .
                                            3    y+2

11. Изменить порядок интегрирования:
                                            ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                            0   2y /3
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , y = −4 x + 12 ;
б) y 2 − 4 x + x 2 = 0 , y 2 − 8 x + x 2 = 0 , y = 0 , y = x .
                                                             3
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
3z = x 2 + y 2 , z = 3 , x = 0 , 3 y = 2 x .
14. Вычислить
                ∫ (3 y + 2 x)dx + 2(x + y )dy , где контур С образован линиями
                C
        2
9 y = 4x , y = 4 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                ∫ 2( x + z)dx + (2 y + 3z )dy − 10 zdz , где контур С является одним
                С
                           ⎧ x = 3 cos(2t ),
                           ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = 3 sin( 2t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                           ⎪ z = 5t ,
                           ⎩
                        (               )
16. Для функции u = ln 2 x 2 + 3 y 2 − 4 z в точке A(− 3; 2; 1) найти градиент и
                                         r     r r
                                   r
производную по направлению a = 2i − 3 j + 8k .
17. Найти в точке B(1; 2; 3) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 2x 2 r z 2 − 3y 2 r               r
F=            ⋅i +            ⋅ j + 13 z ⋅ k .
        y              x




                                            8

Страницы