Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

10
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y ,
2/
2
xy =
, 042
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
42ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
224
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
20484
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 02 ≤− y
x
; 06 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
4
0
2
2/
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0=y ,
2
xy = , 124 +−=
x
y ;
б) 04
22
=+− xxy, 08
22
=+− xxy, 0
=
y,
3
x
y = .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
4 yxz += , 4=z , 0=
x
,
x
y
=
2.
14. Вычислить
()()
∫
+++
C
dyyxdxxy 224, где контур С образован линиями
2
4 xy =
, 4=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 1242)(2, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,6
),2sin(4
,2cos4
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 542ln
22
−+= в точке
(
)
3;2;4
−
A найти градиент и
производную по направлению kjia
r
r
r
r
742 +−= .
17. Найти в точке
()
5;2;4B
дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 20
4
2
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 2 , x + 2 y − 4 = 0 .
                                     (            )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 2 x 2 − 4 y 2 удовлетворяет уравнению
4 ∂z 2 ∂z 2 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 8 x − 4 y + 20 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 2x − y ≤ 0 ; x + y − 6 ≤ 0 .
                                             4    y+2

11. Изменить порядок интегрирования:
                                             ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                             0    y/2
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , y = −4 x + 12 ;
б) y 2 − 4 x + x 2 = 0 , y 2 − 8 x + x 2 = 0 , y = 0 , y = x .
                                                             3
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
4z = x 2 + y 2 , z = 4 , x = 0 , 2 y = x .
14. Вычислить
                ∫ (4 y + 2 x)dx + 2(x + y )dy , где контур С образован линиями
                C
       2
4y = x , y = 4 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                ∫ 2( x + z)dx + (2 y + 4 z )dy − 12 zdz , где контур С является одним
                С
                       ⎧ x = 4 cos(2t ),
                       ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = 4 sin( 2t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                       ⎪ z = 6t ,
                       ⎩
                        (                )
16. Для функции u = ln 2 x 2 + 4 y 2 − 5 z в точке A(− 4; 2; 3) найти градиент и
                                         r   r   r
                                  r
производную по направлению a = 2i − 4 j + 7 k .
17. Найти в точке B(4; 2;5) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 2x 2 r z 2 − 4 y 2 r            r
F=           ⋅i +           ⋅ j + 20 z ⋅ k .
        y            x




                                          10

Страницы