Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

12
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y ,
3/
2
xy =
, 01523
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
23ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
332
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
132124
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 032 ≤− y
x
; 05 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
2
0
3
2/3
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0=y ,
2
xy = , 4592 +−=
x
y ;
б)
02
22
=+− xxy
,
04
22
=+− xxy
,
0
=
y
,
x
y
=
.
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
2 yxz += , 3=z , 0=
x
,
x
y 32
=
.
14. Вычислить
()( )
∫
+++
C
dyyxdxxy 32, где контур С образован линиями
2
94 xy = , 9=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 102)32(, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,5
),3sin(2
,3cos2
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 523ln
22
−+= в точке
(
)
4;3;2
−
A найти градиент и
производную по направлению kjia
r
r
r
r
323 +−= .
17. Найти в точке
()
5;3;2B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 13
2
3
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 3 , 3 x + 2 y − 15 = 0 .
                                    (             )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 3x 2 − 2 y 2 удовлетворяет уравнению
2 ∂z 3 ∂z 3 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 12 x − 2 y + 13 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 2x − 3y ≤ 0 ; x + y − 5 ≤ 0 .
                                             2    y +3

11. Изменить порядок интегрирования:
                                            ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                             0   3y / 2
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , 2 y = −9 x + 45 ;
б) y 2 − 2 x + x 2 = 0 , y 2 − 4 x + x 2 = 0 , y = 0 , y = x .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
2 z = x 2 + y 2 , z = 3 , x = 0 , 2 y = 3x .
14. Вычислить
                ∫ 2( y + x)dx + (3x + y )dy , где контур С образован линиями
                C
        2
4 y = 9x , y = 9 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                ∫ (2 x + 3z)dx + 2( y + z )dy − 10 zdz , где контур С является одним
                С
                       ⎧ x = 2 cos(3t ),
                       ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = 2 sin(3t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                       ⎪ z = 5t ,
                       ⎩
                        (               )
16. Для функции u = ln 3x 2 + 2 y 2 − 5 z в точке A(− 2; 3; 4) найти градиент и
                                        r     r r
                                  r
производную по направлению a = 3i − 2 j + 3k .
17. Найти в точке B(2; 3; 5) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 3x 2 r z 2 − 2 y 2 r             r
F=            ⋅i +           ⋅ j + 13 z ⋅ k .
        y             x




                                            12

Страницы