Составители:
Рубрика:
13
Вариант 4
1. Найти пределы функций:
а)
(
)
313lim
22
+−−++
∞→
xxxx
x
в)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
1
4
1
3
lim
2
1
x
x
x
x
д)
x
x
x
x
3
13
13
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
∞→
б)
136
3103
lim
2
3
1
+−
+−
→
xx
xx
x
г)
(
)
(
)
()
x
xx
x
cos1
4cos3cos
lim
0
−
−
→
е)
()()
)3(
2
2coslim
xctg
x
x
π
→
2. В точках 0
1
=x и 1
2
=x для функции )(
x
f
установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции )(
x
f
в ок-
рестностях этих точек: а)
22
3
)(
1
−
=
x
xf
; б)
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞<<
≤≤−
<<∞−+
=
.1,3
,10,13
,0,13
)(
2
xеслих
хеслиx
xеслиx
xf
3. Найти производные функций:
а)
3
7
4
2
3
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++= x
x
y
в)
(
)
2
641
8arccos
x
x
y
−
=
д)
12
3
3
=−
+
y
x
e
yx
б)
4
3
3
1
13
ln
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
x
x
y
г)
(
)
(
)
x
xy
3sin
5
2+=
е)
()
⎩
⎨
⎧
++=
++=
.32
,33ln
2
tty
ttx
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции
(
)
9/12
2
+= xxy .
5. Найти интегралы:
а)
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− dx
x
x
2
4
3
1
3
в)
∫
+
+
dx
x
x
23
23cos
д)
()
∫
+−
+
102
10
2
xx
dxx
б)
()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+ dx
x
x
9
9
7sin
2
г)
()
∫
⋅+ xdxx ln12
е)
∫
+−
2
68 xx
dx
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
а)
()
∫
+∞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+
5
2
5
25
x
arctgx
dx
,
б)
∫
+−
4
1
2
34xx
dx
.
7. Вычислить длину дуги кривой: а) )ln(
x
y
=
, 153 ≤≤ x ;
б)
π
≤≤
⎩
⎨
⎧
−=
−=
t
ty
ttx
0
)),cos(1(5
)),sin((5
; в)
,3
4
3
ϕ
er =
2/2/
π
ϕ
π
≤
≤
−
.
Вариант 4
1. Найти пределы функций:
а) lim
x →∞
(x 2
+ 3x + 1 − x 2 − x + 3 )
в) lim⎜ 2
⎛ 3x
−
x →1⎝ x − 1 x − 1 ⎠
4 ⎞
⎟ д) lim ⎛⎜ 3 x − 1 ⎞⎟
x →∞⎝ 3 x + 1 ⎠
3x
3 x 2 − 10 x + 3 г) е)
б) lim
1 6 x − 3x + 1 lim
cos (3 x ) − cos (4 x ) lim (cos(2 x ))ctg (3 x )
2
1 − cos( x )
x→
3 x →0 x →π
2. В точках x1 = 0 и x 2 = 1 для функции f (x) установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f (x) в ок-
⎧3( x + 1), если − ∞ < x < 0,
3 ⎪
рестностях этих точек: а) f ( x) = 1 ; б) f ( x) = ⎨3( x − 1)2 , если 0 ≤ х ≤ 1,
⎪3 х, если 1 < x < +∞.
2x − 2 ⎩
3. Найти производные функций:
arccos(8 x )
3
⎛ x2 7 4 ⎞ x
а) y = ⎜ ⎜ + x + 3⎟ ⎟ в) y = д) e 3 x + y − = 12
2 1 − 64 x 2 3y
⎝ ⎠
⎧ x = ln (3t ) + t + 3,
3
б) y = ln⎜ 3
⎛ 3x + 1 ⎞ 4
⎟
5
г) y = x + 2 ( )
sin (3 x )
е) ⎨ 2
⎩ y = t + 2t + 3.
⎝ x + 1⎠
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции y = 12 x / x 2 + 9 .( )
5. Найти интегралы:
2
cos 3x + 2 (x + 10)dx
а)
⎛
∫
⎜
⎜
3x −
1 ⎞
⎟
4 3 ⎟
dx в)
∫
3x + 2
dx д)
∫x 2 − 2 x + 10
⎝ x ⎠
∫
⎛ 9 ⎞ г) (2 x + 1) ⋅ ln xdx dx
∫
б) ⎜ sin (7 x ) + 2
⎝ x + 9⎠
⎟dx е)
∫ 8 − 6x + x 2
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
+∞
dx 4
а)
∫ (25 + x )⋅ arctg⎛⎜ x ⎞⎟
2
, б)
∫
dx
.
5 x 2 − 4x + 3
⎝5⎠ 1
7. Вычислить длину дуги кривой: а) y = ln(x) , 3 ≤ x ≤ 15 ;
3ϕ
⎧ x = 5(t − sin(t )),
б) ⎨ 0 ≤ t ≤ π ; в) r = 3e 4 , − π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 .
⎩ y = 5(1 − cos(t )),
13
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
