Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 13 стр.

UptoLike

Рубрика: 

13
Вариант 4
1. Найти пределы функций:
а)
(
)
313lim
22
+++
xxxx
x
в)
1
4
1
3
lim
2
1
x
x
x
x
д)
x
x
x
x
3
13
13
lim
+
б)
136
3103
lim
2
3
1
+
+
xx
xx
x
г)
(
)
(
)
()
x
xx
x
cos1
4cos3cos
lim
0
е)
()()
)3(
2
2coslim
xctg
x
x
π
2. В точках 0
1
=x и 1
2
=x для функции )(
x
f
установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции )(
x
f
в ок-
рестностях этих точек: а)
22
3
)(
1
=
x
xf
; б)
(
)
()
+∞<<
<<+
=
.1,3
,10,13
,0,13
)(
2
xеслих
хеслиx
xеслиx
xf
3. Найти производные функций:
а)
3
7
4
2
3
2
++= x
x
y
в)
(
)
2
641
8arccos
x
x
y
=
д)
12
3
3
=
+
y
x
e
yx
б)
4
3
3
1
13
ln
+
+
=
x
x
y
г)
(
)
(
)
x
xy
3sin
5
2+=
е)
()
++=
++=
.32
,33ln
2
tty
ttx
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции
(
)
9/12
2
+= xxy .
5. Найти интегралы:
а)
dx
x
x
2
4
3
1
3
в)
+
+
dx
x
x
23
23cos
д)
()
+
+
102
10
2
xx
dxx
б)
()
+
+ dx
x
x
9
9
7sin
2
г)
()
+ xdxx ln12
е)
+
2
68 xx
dx
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
а)
()
+∞
+
5
2
5
25
x
arctgx
dx
,
б)
+
4
1
2
34xx
dx
.
7. Вычислить длину дуги кривой: а) )ln(
x
y
=
, 153 x ;
б)
π
=
=
t
ty
ttx
0
)),cos(1(5
)),sin((5
; в)
,3
4
3
ϕ
er =
2/2/
π
π
.
                                                Вариант 4
1. Найти пределы функций:

а) lim
   x →∞
          (x   2
                   + 3x + 1 − x 2 − x + 3   )
                                       в) lim⎜ 2
                                                ⎛ 3x
                                                            −
                                           x →1⎝ x − 1 x − 1 ⎠
                                                                   4 ⎞
                                                                       ⎟ д) lim ⎛⎜ 3 x − 1 ⎞⎟
                                                                                  x →∞⎝ 3 x + 1 ⎠
                                                                                                  3x




           3 x 2 − 10 x + 3            г)                                    е)
б) lim
        1 6 x − 3x + 1                  lim
                                              cos (3 x ) −  cos   (4 x )      lim (cos(2 x ))ctg (3 x )
                                                                                                  2


                                                  1 − cos( x )
   x→
        3                               x →0                                  x →π
2. В точках x1 = 0 и x 2 = 1 для функции f (x) установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f (x) в ок-
                                                                 ⎧3( x + 1), если − ∞ < x < 0,
                                       3                         ⎪
рестностях этих точек: а) f ( x) = 1          ; б) f ( x) = ⎨3( x − 1)2 , если 0 ≤ х ≤ 1,
                                                                 ⎪3 х,          если 1 < x < +∞.
                                     2x − 2                      ⎩
3. Найти производные функций:
                                             arccos(8 x )
                              3
         ⎛ x2 7 4           ⎞                                                        x
а) y = ⎜ ⎜       + x + 3⎟   ⎟       в) y  =                         д) e 3 x + y −      = 12
            2                                  1 −  64 x 2                          3y
         ⎝                  ⎠
                                                                        ⎧ x = ln (3t ) + t + 3,
                        3

б) y = ln⎜ 3
            ⎛ 3x + 1 ⎞ 4
                      ⎟
                                               5
                                    г) y = x + 2    (         )
                                                       sin (3 x )
                                                                    е)  ⎨        2
                                                                        ⎩ y = t + 2t + 3.
            ⎝ x + 1⎠
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции y = 12 x / x 2 + 9 .(        )
5. Найти интегралы:
                      2
                                      cos 3x + 2                             (x + 10)dx
а)
     ⎛
     ∫
     ⎜
     ⎜
        3x −
                  1 ⎞
                    ⎟
                4 3 ⎟
                        dx       в)
                                          ∫
                                          3x + 2
                                                      dx            д)
                                                                          ∫x 2 − 2 x + 10
     ⎝            x ⎠

                                          ∫
      ⎛                 9 ⎞      г) (2 x + 1) ⋅ ln xdx                             dx
     ∫
б) ⎜ sin (7 x ) + 2
      ⎝              x + 9⎠
                             ⎟dx                                    е)
                                                                         ∫   8 − 6x + x 2
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
     +∞
                       dx                       4
а)
     ∫ (25 + x )⋅ arctg⎛⎜ x ⎞⎟
                   2
                                 ,        б)
                                                ∫
                                                         dx
                                                                   .
     5                                              x 2 − 4x + 3
                        ⎝5⎠                     1

7. Вычислить длину дуги кривой: а) y = ln(x) ,                    3 ≤ x ≤ 15 ;
                                              3ϕ
   ⎧ x = 5(t − sin(t )),
б) ⎨                     0 ≤ t ≤ π ; в) r = 3e 4 , − π / 2 ≤ ϕ ≤ π / 2 .
   ⎩ y = 5(1 − cos(t )),




                                                    13