Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

11
Вариант 3
1. Найти пределы функций:
а)
(
)
3223lim
22
+++
xxxx
x
в)
+
+
x
x
x
x
1
lim
2
3
д)
x
x
x
x
5
23
23
lim
+
б)
236
6136
lim
2
3
2
+
+
xx
xx
x
г)
(
)
(
)
()
x
xx
x
4cos1
5cos3cos
lim
0
е)
()()
)7(
2
6coslim
xctg
x
x
π
2. В точках 0
1
=x и 2
2
=x для функции )(
x
f
установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции )(
x
f
в ок-
рестностях этих точек: а)
22
3
)(
2
=
x
xf
; б)
(
)
()
+∞<<
<<+
=
.2,3
,20,275,0
,0,25,1
)(
2
xеслих
хеслиx
xеслиx
xf
3. Найти производные функций:
а)
5
3
8
6
2
6
++= x
x
y
в)
(
)
2
161
4arccos
x
x
y
=
д)
6
3
2
23
=
+
y
x
e
yx
б)
5
3
3
2
23
ln
+
=
x
x
y
г)
(
)
(
)
x
xy
3sin
2=
е)
()
++=
++=
.623
,342ln
2
tty
ttx
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции
(
)
3/4
22
+= xxy .
5. Найти интегралы:
а)
dx
x
x
2
3
2
2
2
3
в)
+
+
dx
x
x
23
23sin
д)
()
+
+
134
132
2
xx
dxx
б)
dx
x
e
x
2
3
47
7
3
г)
()
+ xdxx ln3
е)
+
2
25 xx
dx
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
а)
()
+∞
+
2
2
2
4
x
arctgx
dx
,
б)
+
5
2
2
65xx
dx
.
7. Вычислить длину дуги кривой:
а)
83,
2
ln = x
x
y
;
б)
(
)
(
)
π
+=+= tttttyttttx 0,sin2cos2,cos2sin2
22
;
в)
3sin4=
r
.
                                                    Вариант 3
1. Найти пределы функций:
а)                                                 ⎛        x3         ⎞                                 5x

         (
 lim x 2 + 3 x + 2 − x 2 − 2 x + 3
x →∞
                                        в)
                                               )
                                             lim   ⎜  −
                                             x → ∞⎜ x 2 + 1
                                                   ⎝
                                                                 +   x ⎟
                                                                       ⎟
                                                                       ⎠
                                                                               д) lim ⎜
                                                                                          ⎛ 3x − 2 ⎞
                                                                                    x →∞⎝ 3 x + 2 ⎠
                                                                                                       ⎟

          6 x 2 − 13x + 6               г)                                     е)
б) lim
       2 6 x − 3x + 2                    lim
                                                cos  (3 x ) −  cos (5 x )       lim   (cos  (6 x )) ctg 2 ( 7 x )
                                                    1 − cos(4 x )
    x→
       3                                 x →0                                   x →π
2. В точках x1 = 0 и x 2 = 2 для функции f (x) установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f (x) в ок-
                                                                 ⎧1,5( x + 2 ), если − ∞ < x < 0,
                                        3                        ⎪
рестностях этих точек: а) f ( x) = 2            ; б) f ( x) = ⎨0,75( x − 2 )2 , если 0 ≤ х ≤ 2,
                                                                 ⎪3 х,            если 2 < x < +∞.
                                     2x − 2                      ⎩
3. Найти производные функций:
                                              arccos(4 x )
                             5
        ⎛ x6 3 8           ⎞                                                            2x
а) y = ⎜⎜      + x + 2 ⎟⎟           в) y =                           д) e 3 x + 2 y −        =6
                                                 1 − 16 x    2                          3 y
        ⎝ 6                ⎠
                                                                          ⎧ x = ln (2t ) + 4t + 3,
                       3
           ⎛ 3x − 2 ⎞ 5             г)  y  =  (2 x )sin (3 x )       е)   ⎨
б) y = ln⎜ 3         ⎟                                                               2
           ⎝ x + 2⎠                                                       ⎩ y = 3t + 2t + 6.
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
                          (
функции y = 4 x 2 / x 2 + 3 .       )
5. Найти интегралы:
                       2
                                      sin 3 x + 2                             (2 x + 13)dx
а)
     ⎛ 2
     ∫
     ⎜
     ⎜
       3x −
                 2
                3 2 ⎟
                     ⎞
                     ⎟   dx      в)
                                               ∫
                                           3x + 2
                                                         dx          д)
                                                                                ∫
                                                                             x 2 − 4 x + 13
     ⎝            x ⎠
     ⎛
     ∫
б) ⎜ 3e 3 x −
     ⎜
                     7       ⎞
                             ⎟dx
                             ⎟                 ∫
                                 г) ( x + 3) ⋅ ln xdx                е)
                                                                                ∫
                                                                                     dx
                                                                               5 + 2x − x 2
     ⎝             47 − x 2 ⎠
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
     +∞
                     dx                             5
а)
     ∫ (4 + x )⋅ arctg⎛⎜ x ⎞⎟ ,
                 2
                                               б)
                                                    ∫    2
                                                             dx
                                                                        .
     2
                                                    2
                                                        x − 5x + 6
                       ⎝2⎠
7. Вычислить длину дуги кривой:
           x
а) y = ln , 3 ≤ x ≤ 8 ;
          2
             (       )                     (        )
б) x = t − 2 sin t + 2t cos t , y = 2 − t 2 cos t + 2t sin t , 0 ≤ t ≤ π ;
         2

в) r = 4 sin 3ϕ .


                                                        11