Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

14
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y ,
3/
2
xy =
, 0123
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
3ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
331
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
10124
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 03 ≤− y
x
; 04 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
2
0
3
2/3
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0=y ,
2
xy = , 369 +−=
x
y ;
б) 08
22
=+− xyy, 010
22
=+− xyy,3/xy = , xy 3= .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
yxz += ,
1=
z
, 0=
x
,
x
y 3= .
14. Вычислить
()( )
∫
+++
C
dyyxdxxy 232
, где контур С образован линиями
2
9xy = , 9=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 82)32(, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,4
),3sin(
,3cos
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 83ln
22
−+= в точке
(
)
4;3;1
−
−
A
найти градиент и
производную по направлению
kjia
r
r
r
r
33 −−= .
17. Найти в точке
()
4;3;1B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 10
3
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 3 , 3 x + y − 12 = 0 .
                                       (            )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 3x 2 − y 2 удовлетворяет уравнению
1 ∂z 3 ∂z 3 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 12 x − y + 10 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; x − 3y ≤ 0 ; x + y − 4 ≤ 0 .
                                                2       y +3

11. Изменить порядок интегрирования:
                                               ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                0   3y / 2
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , y = −9 x + 36 ;
б) y 2 − 8 y + x 2 = 0 , y 2 − 10 y + x 2 = 0 , y = x / 3 , y = 3x .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
z = x 2 + y 2 , z = 1 , x = 0 , y = 3x .
14. Вычислить
                  ∫ ( y + 2 x)dx + (3x + 2 y )dy , где контур С образован линиями
                  C
       2
y = 9x , y = 9 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                  ∫ (2 x + 3z)dx + (2 y + z )dy − 8zdz , где контур С является одним
                  С
                       ⎧ x = cos(3t ),
                       ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = sin(3t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                       ⎪ z = 4t ,
                       ⎩
                          (                )
16. Для функции u = ln 3 x 2 + y 2 − 8 z в точке A (− 1; 3; − 4 ) найти градиент и
                                         r r   r
                                  r
производную по направлению a = 3i − j − 3k .
17. Найти в точке B(1;3;4 ) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 3x 2 r z 2 − y 2 r              r
F=            ⋅i +          ⋅ j + 10 z ⋅ k .
        y             x




                                               14

Страницы