Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

16
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y ,
4/
2
xy =
, 0122
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
24ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
442
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
202164
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 02 ≤− y
x
; 06 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
2
0
4
2
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0=y ,
2
xy = , 488 +−=
x
y ;
б) 04
22
=+− xxy, 08
22
=+− xxy,0
=
y,
x
y
=
.
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
2 yxz += ,
2=
z
, 0=
x
,
x
y 2= .
14. Вычислить
() ( )
∫
+++
C
dyyxdxxy 222
, где контур С образован линиями
2
4xy = , 16=y , 0
=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 1222)42(, где контур С является од-
ним витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,6
),4sin(2
,4cos2
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 324ln
22
−+= в точке
(
)
3;4;2
−
−
A
найти градиент и
производную по направлению
kjia
324 −−= .
17. Найти в точке
()
6;4;2B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 20
2
4
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 4 , 2 x + y − 12 = 0 .
                                        (             )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 4 x 2 − 2 y 2 удовлетворяет уравнению
2 ∂z 4 ∂z 4 z
   ⋅ + ⋅         =      .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 16 x − 2 y + 20 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; x − 2y ≤ 0; x + y − 6 ≤ 0.
                                                  2   y+4

11. Изменить порядок интегрирования:
                                                 ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                  0   2y
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , y = −8 x + 48 ;
б) y 2 − 4 x + x 2 = 0 , y 2 − 8 x + x 2 = 0 , y = 0 , y = x .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
2z = x 2 + y 2 , z = 2 , x = 0 , y = 2x .
14. Вычислить
                  ∫ 2( y + x)dx + 2(2 x + y )dy , где контур С образован линиями
                  C
       2
y = 4x , y = 16 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                  ∫ (2 x + 4 z)dx + (2 y + 2 z )dy − 12 zdz , где контур С является од-
                  С
                           ⎧ x = 2 cos(4t ),
                           ⎪
ним витком винтовой линии: ⎨ y = 2 sin(4t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                           ⎪ z = 6t ,
                           ⎩
                           (           r
                                             )
16. Для функции u = ln 4 x 2 + 2 y 2 − 3 z в точке A (− 2 ; 4; − 3 ) найти градиент и
                                              r  r
                                 r
производную по направлению a = 4i − 2 j − 3k .
17. Найти в точке B(2;4;6 ) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 4x 2 r z 2 − 2 y 2 r             r
F=            ⋅i +           ⋅ j + 20 z ⋅ k .
        y             x




                                                 16

Страницы