Электромагнитные волны. Музафаров Л.М - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1
Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме в соот-
ветствии с уравнениями (1.1), где
0
{30; 30; 0}E =
r
мВ/м, вектор
0
B
r
сонаправлен
с некоторым вектором {1;1;0}a =−
r
,
7
ω 310
р
ад/c=⋅
. Найти:
a)
направление распространения волны,
b)
волновое число,
c)
максимальное значение плотности энергии волны в произвольной точке.
Решение
Векторы , и
E
Bk
r
rr
составляют правовинтовую тройку (рис. 1.1.). Это зна-
чит, что вектор k
r
сонаправлен с векторным произведением
E
B×
rr
. Воспользо-
вавшись этим свойством, определим направление вектора
k
r
, которое совпадает
с направлением распространения электромагнитной волны
000
00
[][ ] 0
0
( ) (30 30) мВ/м 60 мВ/м.
xyz
xy
xy
zx y y x z z
eee
EB E a E E
aa
eE a E a e e
×↑↑ ×= =
=⋅−⋅=+ =⋅
r
rr
rr r
r
rrr
y
0
B
r
0
E
r
k
r
x
z
Рис. 1.2. К примеру 1.
Полученный результат свидетель-
ствует о том, что волна распространя-
ется в направлении Oz (рис. 1.2). Чис-
ленное значение волнового числа оп-
ределим по формуле (1.2)
7
11
8
2πω310
м 0,1 м
λ
310
k
c
−−
⋅
=== =
⋅
.
Максимальное значение плотности энергии электромагнитного поля в лю-
бой точке пространства определяется по формуле (1.5)
при условии
22
0
E
E=
22
0
и
B= . Тогда
22 2 2 2 2
222
00 0 00 0 00 00
max 0 0 0 0 0
2
0
0
εε εε
εε()
22μ 222
2μ
x
y
EB E E E E
wEEE
c
=+=+ =+== +.
Произведем вычисления:
12 2 2 6 3 14 3
max
8,85 10 (30 30 ) 10 Дж/м 1, 6 10 Дж/мw
−−−
=⋅ ⋅+⋅ =⋅ .
Ответ: a) волна распространяется в направлении оси Oz,
b) k = 0,1 м
–1
,
c) w
max
= 1,6
.
10
–14
Дж/м
3
. 
     Пример 1
     Плоская электромагнитная волнаr    распространяется в вакууме
                                                               r     в соот-
ветствии с уравнениями (1.1), где E0 = {30;30;0} мВ/м, вектор B0 сонаправлен
                       r
с некоторым вектором a = {−1;1;0} , ω = 3 ⋅ 107 рад/c . Найти:
a) направление распространения волны,
b) волновое число,
c) максимальное значение плотности энергии волны в произвольной точке.

                                           Решение
               r r r
     Векторы E , B и k составляют правовинтовую тройку (рис. 1.1.). Это зна-
                  r                                        r r
чит, что вектор k сонаправлен с векторным произведением r E × B . Воспользо-
вавшись этим свойством, определим направление вектора k , которое совпадает
с направлением распространения электромагнитной волны
                                         r     r    r
                                         ex   e y ez
                  r r         r r
                [ E × B ] ↑↑[ E0 × a ] = Ex 0 E y 0 0 =
                                              ax    ay     0
                    r                                r                        r
                  = ez ( Ex 0 ⋅ a y − E y 0 ⋅ ax ) = ez (30 + 30) мВ/м = 60 ⋅ ez мВ/м.
                 y                                      Полученный результат свидетель-
                                                   ствует о том, что волна распространя-
         r                  r                      ется в направлении Oz (рис. 1.2). Чис-
         B0                 E0                     ленное значение волнового числа оп-
                                                   ределим по формуле (1.2)
           r
           k                              x                2π ω 3 ⋅ 107 −1
                                                       k=     = =      8
                                                                         м = 0,1 м −1 .
                                                            λ  c 3 ⋅ 10
    z
               Рис. 1.2. К примеру 1.
     Максимальное значение плотности энергии электромагнитного поля в лю-
бой точке пространства определяется по формуле (1.5) при условии
E 2 = E02 и B 2 = B02 . Тогда
           ε 0 E02 B02 ε 0 E02        E02      ε 0 E02 ε 0 E02
    wmax =        +      =        +        2
                                             =        +        = ε 0 E02 = ε 0 ( E02x + E02y ) .
              2     2μ 0     2       2μ 0c        2       2
    Произведем вычисления:
             wmax = 8,85 ⋅ 10−12 ⋅ (302 + 302 ) ⋅ 10−6 Дж/м3 = 1,6 ⋅ 10−14 Дж/м3 .
    Ответ: a) волна распространяется в направлении оси Oz,
           b) k = 0,1 м–1,
           c) wmax = 1,6.10–14 Дж/м3.

Страницы