Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.1.1.
Интегрирование
есть действие, обратное дифференцированию. Если
)()(
xFxf
′
=
на некотором интервале
),(
ba
,
то функция
)(
xF
(по отношению к
f x( )
) называется первообразной.
Так, например, для
xxf
2
=
)(
первообразными
являются
:
2
xxF
=)(
,
1
2
−=
xxF
)(
, ...,
и
вообще
,
любая
функция
вида
CxxF
+=
2
)(
,
где
С
–
произвольная
постоянная
.
В
общем
случае
,
совокупность
всех
первообразных
для
)(
xf
,
),(
bax
∈
,
имеет
вид
:
{
}
CxF
+)(
,
где
)(
xF
–
некоторая
(
фиксированная
)
первообразная
,
С
–
произвольная
постоянная
.
Такая
совокупность
называется
неопределённым
интегралом
для
)(
xf
.
Обозначение
:
CxFdxxf
+=
∫
)()(
.
1.1.2.
Таблица интегралов
1)
1,
1
1
−≠α+
+α
=
+α
α
∫
C
x
dxx
;
6)
Cxdxx
+=
∫
sincos
;
2)
Cx
x
dx
+=
∫
ln
;
7)
Cx
x
dx
+=
∫
tg
cos
2
;
3)
Cedxe
xx
+=
∫
;
8)
Cx
x
dx
+−=
∫
ctg
sin
2
;
4)
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln
;
9)
Cx
x
dx
+=
−
∫
arcsin
1
2
;
5)
Cxdxx
+−=
∫
cossin
;
10)
∫
+=
+
Cx
x
dx
arctg
1
2
;
1.1.3.
Свойства интеграла
а
)
линейность интеграла
( )
.const,;)()()()( =µλµ+λ=µ+λ
∫∫∫
dxxgdxxfdxxgxf
б
)
CbkxF
k
dxbkxf
++=+
∫
)(
1
)( )0,const( ≠=
kk
.
1.1.4.
Приёмы интегрирования
а
)
Использование
таблицы
,
линейности
и
почленного
деления
.
Например
,
=+−=
+−=
+−
∫∫∫∫∫
−
x
dx
dxdxxdx
xx
x
x
x
dx
x
xx
23
123123
2
1
CxxxCxx
x
++−=++−= ln26ln2
2
1
3
2
1
.
б
)
Замена
переменных
t x= ϕ ( )
по
формуле
( )
∫∫
=ϕ
′
ϕ
dttfdxxxf
)()()(
.
Вычислив
интеграл
,
возвращаемся
к
старой
переменной
.
П р и м е р.
∫
+
=
2
1
x
dxx
J
.
Полагаем
2
1
xt
+=
и
устанавливаем
связь
дифференциалов
:
dxxdt
2=
.
Числитель
подынтегрального
выражения
будет
равен
dt
,
если
его
домножить
на
2 (
одновременно
умножим
интеграл
на
1/2):
( )
CxCt
t
dt
x
dxx
J
++=+==
+
=
∫∫
2
2
1ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
2
1
.
в
)
Выделение
полного
квадрата
в
случае
квадратного
трёхчлена
в
знаменателе
дроби
.
Здесь
следует
пользоваться
формулой

Страницы