Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

a
bac
a
b
xacbxax
4
4
2
2
2
2
−
+
+=++
и заменой переменных
a
b
xt
2
+=
, откуда
a
b
tx
2
−=
,
dtdx
=
.
П р и м е р.
∫
++
=
17
8
2
x
x
dx
J
.
Используем равенство (п. 1.1.4, в), в котором
17,8,1 ===
cba
:
178
2
++
xx
=
1)4(
2
++
x
.
Согласно п. 1.1.3, б) и табличной формуле № 10 имеем
( )
C
х
x
dx
J
++=
++
=
∫
4arctg
1)4(
2
.
1.1.5.
Интегрирование
«
по частям
»:
∫∫
−=
duvuvdvu
.
Приём эффективен при интегрировании функций: логарифмической, обратных тригонометрических, а также
произведений функций степенной на показательную, тригонометрическую, обратную тригонометрическую. Выбор
множителя
u
(оставшийся множитель в интеграле есть
dv
) обусловлен такими соображениями:
•
du
должен иметь простой вид;
•
первообразная
∫
=
dvv
должна легко отыскиваться;
•
∫
duv
должен оказаться проще
∫
dv
u
(т.е. исходного).
П р и м е р.
∫
+
=
dxexJ
x
21
.
Имеем произведение степенной и показательной функций. Выберем
x
u
=
. Тогда
dxedv
x
21+
=
. Следовательно,
dxdu
=
,
xx
edxev
2121
2
1
++
==
∫
По формуле 1.1.5 имеем
CexCexedxeexJ
xxxxx
+
−=+⋅−=−=
+++++
∫
2121212121
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
.
Заметим, что при возможном ином выборе
dxxdveu
x
==
+
,
21
, интеграл
∫
duv
оказался бы сложнее исходного.
1.1.6.
Интегрирование рациональных дробей.
Речь идёт о дробях – отношениях многочленов. Дробь правильная, если
степень числителя меньше степени знаменателя и неправильная – в противном случае.
а) Если предстоит интегрировать правильную дробь, то её знаменатель записываем в виде произведения множителей
типа
n
ax
)(
−
и
(
)
m
qpxx
++
2
. После этого дробь может быть представлена в виде суммы слагаемых типа
)...,,1(
)(
nk
ax
A
k
k
=
−
и
( )
)...,,1(
2
mk
qpxx
NxM
k
kk
=
++
+
.
П р и м е р.
∫
+
+−
=
dx
xx
xx
J
23
2
88
3
.
Имеем :
1
)1(
3
22
2
+
++=
+
+−
x
C
x
B
x
A
xx
xx
.
Если определить коэффициенты
А
,
В
,
С
, то интегрирование сведётся к табличному. Приведём дроби к общему
знаменателю и приравняем коэффициенты многочленов (в левой и правой части) при одинаковых степенях
х
:
22
)1()1(3
CxxBxxAxx
++++=+− или
AxBAxCBxx
++++=+− )()(3
22
,
откуда В + С = 1, А + В= –1; А = 3. Значит, В = –4, С = 5 и
+++−
−
=
+
+−=
−
∫
Cxx
x
dx
xx
x
J
1ln5ln4
1
3
8
1
1
543
8
1
1
2
.
б) Неправильную дробь можно представить как результат деления с остатком (деления «углом»)
дробь = частное +
ь
остаток
,
после чего задача интегрирования сводится к цепочке известных задач.
1.1.7.
Интегрирование некоторых типов иррациональностей
а) Если в подынтегральном выражении с иррациональностью
n
bax
+ и аргументом
х
выполняются лишь
арифметические действия, то вводим новую переменую
n
baxt
+= , откуда затем выражаем
х
и находим
dx
.

Страницы