Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

П р и м е р. Вычислить
∫
+
=
1
0
2
1
)arctg(cos
x
dxx
J
.
Решение.
Положим
x
arctgt
=
;
тогда
при
0
=
x
и
при
1
=
x
имеем
соответственно
0
=
t
,
4
π
=
t
и
2
1
x
dx
dt
+
=
.
Следовательно
,
2
2
0sin
4
sinsincos
4
0
4
0
=−
π
===
π
π
∫
ttdtJ
.
1.3.
НЕСОБСТВЕННЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
1.3.1.
Интегралы
с
бесконечными
пределами
интегрирования
определяются
следующим
образом
(
функции
f x( )
полагаем
непрерывными
на
соответствующих
бесконечных
интервалах
):
а
)
∫∫
∞→
∞
=
B
a
B
a
dxxfdxxf
)(lim)(
;
б
)
∫∫
−∞→
∞−
=
b
A
A
b
dxxfdxxf
)(lim)(
;
в
)
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
+=
0
0
)()()(
dxxfdxxfdxxf
.
Если
в
случаях
а
),
б
)
указанный
предел
не
существует
или
бесконечен
,
то
интеграл
называется
расходящимся
.
В
случае
же
в
)
исходный
интеграл
считается
расходящимся
,
если
таковым
является
хотя
бы
один
из
интегралов
в
правой
части
равенства
.
1.3.2.
Интегралы
от
функций
с
разрывами
второго
рода
определяются
следующим
образом
(
в
пп
.
а
)
и
б
)
параметр
0
>
ε
):
а
)
f x( )
имеет
разрыв
на
левом
конце
отрезка
],[
ba
,
тогда
∫∫
ε+
→ε
=
b
a
b
a
dxxfdxxf
)(lim)(
0
;
б
)
f x( )
разрывна
в
точке
b
:
f x dx f x dx
a
b
a
b
( ) lim ( )
∫ ∫
=
→
−
ε
ε
0
;
в
)
f x( )
имеет
разрыв
в
точке
c a b∈( , )
:
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
)()()(
(
относительно
последних
двух
интегралов
см
.
п
.
а
),
б
)).
В
случаях
,
если
соответствующий
предел
не
существует
или
бесконечен
,
интеграл
называется
расходящимся
;
расходимость
в
случае
п
.
в
)
определяется
аналогично
1.3.1,
в
).
Пример
.
∫
−
=
1
0
1
x
dx
J
.
Функция
x
xf
−
=
1
1
)(
имеет
разрыв
на
правом
конце
промежутка
интегрирования
.
Согласно
п
.
б
), 1.3.2
имеем
:
=−−=
−
=
ε−
→ε
ε−
→ε
∫
1
0
0
1
0
0
)12(lim
1
lim
х
x
dx
J
.2)1(lim2
0
=−ε−
→ε
1.4.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЁННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Перечислим
основные
геометрические
приложения
определённых
интегралов
.
1.4.1.
Площадь
фигуры
а
)
Если
плоская
фигура
D
ограничена
линиями
,,
bxax
==
)(),(
xfyxgy
==
,
где
g
и
f
–
непрерывны
на
],[
ba
и
)()(
xfxg
≤
при
],[
bax
∈
,
то
её
площадь
[ ]
dxxgxfS
b
a
∫
−= )()(
.
В
частности
,
при
0)( ≡
xg
имеем
площадь
криволинейной
трапеции
,
ограниченной
отрезком
оси
абсцисс
,
«
вертикальными
»
прямыми
а
х
=
,
bх
=
и
графиком
функции
)(
xfy
=
.
б
)
Если
0)( ≥=
xfy
задана
параметрически
в
виде
:
a
+
ε
b
a
a
b
b #
ε

Страницы