ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
В случае же, если граница
D
задана уравнениями
,
,
q
y
p
y
=
=
)(
yx
µ=
,
)(
yvx
=
, причем
µ
и
ν
непрерывны на
],[
qp
и
(
)
],[)()(
qpyyvy
∈≤µ
,
имеем
(
рис
. 2.1.2)
dxyxfdydydxyxf
yv
y
q
pD
∫∫∫∫
µ
=
)(
)(
),(),(
Рис. 2.1.1 Рис. 2.1.2
В
случае
Dyxyxf
∈> ),(,0),(
двойной
интеграл
есть
масса
плоской
пластины
D
с
плотностью
(
в
каждой
точке
),(
yx
)
),(
yxf
=ρ
.
П р и м е р ы.
1.
Изменить
порядок
интегрирования
∫∫
=
x
x
dyyxfdxJ
22
2
0
3
2
1
),(
.
Решение
.
Изобразим
границу
области
(
уравнения
соответствующих
линий
определяются
нижними
и
верхними
пределами
интегрирования
):
xyxyxx
22,
2
1
,2,0
3
====
.
Если
спроектировать
область
на
ось
0
у
,
то
21
yyy
≤≤
,
где
y
1
и
y
2
определяются
решениями
системы
уравнений
:
3
2
1
xy
=
,
xy
22=
.
Имеем
4,0
21
==
yy
,
следовательно
внешнее
интегрирование
теперь
производится
по
отрезку
]4,0[
.
Чтобы
определить
пределы
«
внутреннего
»
интегрирования
(
по
переменной
х
),
следует
выразить
х
(
через
у
)
из
уравнений
левой
границы
(
точка
входа
горизонтальной
прямой
в
область
)
xy
22=
и
правой
границы
(
точка
выхода
)
3
2
1
xy
=
.
Имеем
соответственно
8
2
y
x
=
и
3
2
yx
=
.
Поэтому
∫∫
=
3
8
2
2
4
0
),(
y
y
dxyxfdyJ
.
2.
Найти
массу
плоской
пластины
D
,
заданной
плотности
2
24
yx
=ρ
,
расположенной
в
плоскости
X
0
Y
,
если
D
ограничена
линиями
,2
xy
−
=
2
x
y
=
,
2
=
y
.
Решение
.
Согласно
2.1.1
достаточно
вычислить
∫∫
ρ
D
dydx
,
т
.
е
.
∫∫
D
dydxyx
2
24
.
Внешнее
интегрирование
произведём
по
у
,
0 2≤ ≤y
.
Во
внутреннем
интеграле
х
изменяется
от
−
y
2
до
2y
(
х
выражен
соответственно
из
уравнений
левой
и
правой
границы
;
рис
. 2.1.4).
Итак
,
=
==
∫∫∫
−
−
2
0
2
3
2
2
2
0
2
2
3
2424
y
y
y
y
x
ydydxyxdyJ
41665
2
0
4
=
∫
dyy
.
y =
ϕ
(x)
y
y =
ψ
(x)
a
b
x
0
y
х
=
µ
(
у
)
х
=
ν
(
у
)
x
q
0
p
y
xy
2=
3
3
1
xy
=
x
4
1
2
0
Рис. 2.1.3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
