Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
=
)(
)(
tyy
txx
β
≤
≤
α
t
,
причём
х
пробегает отрезок
],{
ba
при
β
≤
≤
α
t
(
т
.
е
.
0)( >
′
tx
,
)(
α
=
xa
,
)(
β
=
хb
),
то
площадь
криволинейной
трапеции
находится
по
формуле
dttxtyS
∫
β
α
′
= )()(
.
в
)
Площадь
сектора
,
определяемого
в
полярных
координатах
соотношениями
)(0, ϕρ≤ρ≤β≤ϕ≤α
,
где
)(ϕρ
–
непрерывна
на
],[
β
α
,
см
.
рис
. 1.4.1,
вычисляется
по
формуле
ϕϕρ=
∫
β
α
dS
)(
2
1
2
.
1.4.2.
Длина
дуги
линии
а
)
Если
линия
L
задана
в
декартовой
системе
координат
уравнением
)(
xfy
=
,
то
длина
её
дуги
,
соответствующей
значениям
],[
bax
∈
вычисляется
по
формуле
.
( )
dxxfl
b
a
∫
′
+=
2
)(1
.
б
)
Дуга
заданной
параметрически
линии
=
=
),(
);(
tyy
txx
в
случае
],[
β
α
∈
t
имеет
длину
( ) ( )
dttyxxl
∫
β
α
′
+
′
=
22
)()( (
предполагается
монотонность
)(
tx
на
отрезке
],[
β
α
).
в
)
Частным
случаем
п
.
б
)
является
задание
линии
в
полярной
системе
координат
уравнением
)(ϕρ=ρ .
В
этом
случае
( ) ( )
ϕϕρ
′
+ϕρ=
∫
β
α
dl
22
)()(
.
П р и м е р
.
Найти
длину
дуги
линии
.
20,
22
≤≤+=
−
xeey
xx
.
Заметим
,
что
( )
xx
eeyeey
xx
−
−
+−=
′
−=
′
2
4
1
)(;
2
1
2
22
.
Следовательно
,
согласно
1.4.2
а
),
имеем
( )
dxeedxyl
xx
∫∫
−
+−+=
′
+=
2
0
2
0
2
2
4
1
1)(1
=
+=
∫
−
dxee
xx
2
0
2
22
2
1
e
e
1
−
.
1.4.3.
Объём
тела
вращения
.
Тело
,
образованное
вращением
вокруг
0
x
криволинейной
трапеции
,
ограниченной
осью
0
x
,
прямыми
bxax
== ,
и
графиком
)(
xfy
=
(
0)(
≥
xf
при
],[
bax
∈
),
имеет
объём
dxxfV
b
a
∫
π= )(
2
.
П р и м е р.
Найти
объём
тела
,
образованного
вращением
криволинейного
треугольника
вокруг
оси
0
x
,
если
треугольник
ограничен
осью
0
x
,
прямой
x
=
π
4
и
графиком
xy
tg
=
.
Решение
.
Имеем
V x dx
x
x
dx
dx
x
dx= =
−
= −
=
∫ ∫ ∫ ∫
π π π
π π π π
tg
2
0
2
2
0
2
0 0
4 4 4 4
1 cos
cos cos
4
2
π
−π
.
2. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.1.
ДВОЙНОЙ
ИНТЕГРАЛ
2.1.1.
Пусть
функция
двух
переменных
),(
yxf
непрерывна
в
замкнутой
плоской
области
D
.
Если
граница
D
задана
уравнением
bxax
=
=
,
,
),(
xy
ϕ=
)(
xy
ψ=
,
причём
ϕ
и
ψ
непрерывны
на
],[
ba
и
),()(
xx
ψ≤ϕ
],[
bax
∈
,
то
двойной
интеграл
в
декартовых
координатах
(
рис
. 2.1.1)
может
быть
найден
в
виде
двукратного
определённого
интеграла
dyyxfdxdydxyxf
x
x
b
aD
∫∫∫∫
ψ
ϕ
=
)(
)(
),(),(
.
Сначала
вычисляем
внутренний
интеграл
(
при
фиксированном
х
),
а
затем
полученное
(
зависящее
от
х
)
выражение
интегрируем
по
промежутку
],[
ba
.
α
β
ρ
0
ρ
=
ρ
(
ϕ
)
Рис. 1.4.1

Страницы