Интегралы. Дифференциальные уравнения. Нахман А.Д. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

б) Если арифметические действия выполняются над
m
bax
+
,
n
bax
+
, ... и аргументом
х
, то переменная
t
вводится по
формуле
baxt
N
+=
, где
N
– наименьшее общее кратное чисел
m
,
n
, ...; далее поступаем как в п. а).
Полученные в п. а), б) интегралы – интегралы рациональных функций переменной
t
.
П р и м е р.
dx
x
x
J
∫
+
=
1
4
.
Имеем интеграл типа 1.1.7, б). Общее наименьшее кратное показателей корней
4
=
N
. Следовательно
xt
=
4
, а тогда
dttdx
3
4=
. Значит
.arctg
3
1
4arctg
3
1
4
1
1
14
1
4
1
4
44
4
33
2
2
2
4
4
3
4
4
++−=
++−=
=
+
+−=
+
=
+
⋅
=
∫∫∫
CxxxCttt
dt
t
t
t
dtt
t
dttt
J
1.1.8.
Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений
Универсальная тригонометрическая подстановка
22
2
2
1
2
,
1
1
cos,
1
2
sin;
2
tg
t
dt
dx
t
t
x
t
t
x
x
t
+
=
+
−
=
+
==
применяется, если подинтегральное выражение содержит только арифметические действия над
sin x
и
cos
x
; при этом
получаем интегралы рациональных дробей.
П р и м е р.
∫
+
=
x
dx
J
sin1
.
Положим
2
tg
x
t
=
; согласно формулам 1.1.8 имеем
.
2
tg12C )1(2
21
2
1
2
1
1
2
1
2
2
22
−
−
+−=+==
++
=
+
+
+
=
∫∫∫
x
dtt
tt
dt
t
t
t
dt
J
1.1.9.
Тригонометрические подстановки
при интегрировании некоторых иррациональностей.
а) Если подинтегральное выражение содержит только арифметические действия над
х
и
22
xa
−
, то применяется
замена
t
a
x
cos
=
(или
tax
sin=
), после чего
taxa
sin
22
±=−
,
dttadx
sin
−=
.
б) В подобной ситуации с
х
и
22
ax
−
, полагаем
t
a
x
cos
=
(или
t
a
x
sin
=
); в случае
х
и
22
ax
+
полагаем
tax
tg
=
(
или
tax
ctg
=
).
1.1.10.
В
заключение
отметим
,
что
любая
непрерывная
функция
)(
xf
обладает
первообразной
,
но
не
для
всякой
элементарной
функции
первообразная
также
будет
элементарной
.
Так
,
например
,
через
элементарные
функции
не
выражаются
интегралы
вида
∫ ∫∫
dx
x
x
x
dx
dxe
x
sin
,
ln
,
2
и
др
.
1.2.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
1.2.1.
Определённый
интеграл
непрерывной
на
],[
ba
функции
)(
xfy
=
есть
приращения
первообразной
(
любой
из
первообразных
)
F
(
x
)
на
отрезке
],[
ba
:
)()()()(
aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
.
1.2.2.
Формула
интегрирования
по
частям
имеет
вид
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duvuvdvu
.
1.2.3.
Если
)(
tx
ϕ=
монотонна
на
],[
α
,
например
,
возрастает
от
a
x
=
к
bx
=
при
α β≤ ≤t
,
то
формула
замены
переменных
имеет
вид
( )
dtttfdxxf
b
a
)()()( ϕ
′
ϕ=
∫∫
β
α
(
знак
«
минус
»
в
правой
части
–
в
случае
убывания
ϕ ( )t
).
Заменяя
переменную
под
знаком
определённого
интеграла
,
следует
соответствующим
образом
изменить
пределы
интегрирования
,
и
,
найдя
первообразную
,
к
старой
переменной
не
возвращаться
.

Страницы